本文根據算法導論第三章總結，但其中加入了我對本章的一些補充，並且配合算法導論習題進行講解。
相信本文會讓你對漸近記號有更深入地理解。
一、定義介紹
對於某個比較簡單的算法，我們有時候確實能夠精確地分析出算法的複雜度，比如算法複雜度爲5n^2+10n+6，但是事實上並不需要這樣，因爲當n足夠大時，可以忽略掉低階項和最高次項的係數，因此就引出了“漸近複雜度”，並且用“漸近記號”來表示“漸近複雜度”。
漸近記號包括：
(1)Θ（theta）：緊確界。
相當於"="
(2)O （大歐）：上界。
相當於"<="
(3)o（小歐）：非緊的上界。
相當於"<"
(4)Ω（大omega）：下界。
相當於">="
(5)ω（小omega）：非緊的下界。
相當於">"
給出這些記號的定義：
對於定義的注意點：
(1)這些定義的前提是f(n)和g(n)是漸近非負的，漸近非負的意思是“當n趨於無窮大時，f(n)和g(n)都非負”。
(2)對於第4和第5條定義，需要注意是對於任意的c。
用集合論來表示這5個符號的關係：
從上面的圖可以看出：
(1)如果f(n)=Θ(g(n)),則f(n)=O(g(n))且f(n)=Ω(g(n))。
(2)如果f(n)= o (g(n)),則f(n)=O(g(n))。
(3)如果f(n)=ω(g(n))，則f(n)=Ω(g(n))。
(4)如果f(n)=O(g(n)),則要麼是f(n)= o (g(n))，要麼是f(n)=Θ(g(n))。
(5)如果 f(n)=Ω(g(n)) ,則要麼是f(n)=ω(g(n))，要麼是f(n)=Θ(g(n))。
原因其實很簡單因爲：
(1)如果f(n)=Θ(g(n))，則根據定義一定存在c1,c2,n0，使得對於任意的n>=n0，都有c1g(n)<=f(n)<=c2g(n)，因此必定存在
"c=c2,n0,使得對於任意的n>=n0,都有f(n)<=cg(n)"
"c=c1,n0,使得對於任意的n>=n0,都有cg(n)<=f(n)"
(2)如果f(n)= o (g(n)),則根據定義一定對於任意的c，都存在n0，使得任意的n>=n0，都有f(n)<cg(n)，因此必定存在“存在c,n0，使得對於任意的n>=n0,都有f(n)<=cg(n)”
(3)如果f(n)= ω (g(n)),則根據定義一定對於任意的c，都存在n0，使得任意的n>=n0，都有cg(n)<f(n)，因此必定存在“存在c,n0，使得對於任意的n>=n0,都有cg(n)<=f(n)”
瞭解了這些定義後，給出一個概念：這些漸近記號表示的都是集合，比如 O (n^2)表示的是一個集合，可以是n,1,n^2等，
因此對於這些漸近記號的使用最準確應該是“f(n)∈ O (g(n))”，但是一般都是寫成“f(n)=O(g(n))”。
給出一些例子：
O(n^2)可以是n,2n,1,2n^2等。
Θ(n^2)可以是n^2,3n^2等。
ω(n^2)可以是n^3,n^10等,但不能是n^2。
Ω(n^2)可以是n^2,n^3,n^10等。
o(n^2)可以是n,1,3n等,但不能是n^2。
一般我們對於算法複雜度的描述都是用 O 記號，比如BellmanFord的複雜度爲O(VE)，表示對於所有的輸入，都滿足O(VE)。
二、判斷兩個函數的漸近關係
我們這裏給出了很通用的方法，叫做“極限法”。
看到上面的方法，很多人會問“怎麼沒有 O 和Ω？”，原因很簡單，因爲如果f(n)=O(g(n)),則要麼是f(n)= o (g(n))，要麼是f(n)=Θ(g(n))。
stirling公式：
還要注意一點：我們在證明時，一般不需要具體指出n0的值，只需要證明一定存在n0即可。（像在算法導論P27頁的最後幾行中，他給出了很複雜的n0，這不必深究。）
現在開始舉例子。
第一個問題來源於算法導論思考題3-1。
第二個問題來源於算法導論3.2-3。
第三個問題來源於算法導論3.2-5。
第四個問題是設計函數以滿足一定的條件。
第五個問題也是關於設計一個函數，他是算法導論思考題3-3(b)。
最後還要再舉一個算法導論思考題3-4，因爲這道題能夠更清晰地理清概念。
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