【BZOJ1057】【ZJOI2007】棋盤製作

Description

　　國際象棋是世界上最古老的博弈遊戲之一，和中國的圍棋、象棋以及日本的將棋同享盛名。據說國際象棋起源於易經的思想，棋盤是一個8*8大小的黑白相間的方陣，對應八八六十四卦，黑白對應陰陽。而我們的主人公小Q，正是國際象棋的狂熱愛好者。作爲一個頂尖高手，他已不滿足於普通的棋盤與規則，於是他跟他的好朋友小W決定將棋盤擴大以適應他們的新規則。小Q找到了一張由N*M個正方形的格子組成的矩形紙片，每個格子被塗有黑白兩種顏色之一。小Q想在這種紙中裁減一部分作爲新棋盤，當然，他希望這個棋盤儘可能的大。不過小Q還沒有決定是找一個正方形的棋盤還是一個矩形的棋盤（當然，不管哪種，棋盤必須都黑白相間，即相鄰的格子不同色），所以他希望可以找到最大的正方形棋盤面積和最大的矩形棋盤面積，從而決定哪個更好一些。於是小Q找到了即將參加全國信息學競賽的你，你能幫助他麼？

Input

　　第一行包含兩個整數N和M，分別表示矩形紙片的長和寬。接下來的N行包含一個N * M的01矩陣，表示這張矩形紙片的顏色（0表示白色，1表示黑色）。

Output

　　包含兩行，每行包含一個整數。第一行爲可以找到的最大正方形棋盤的面積，第二行爲可以找到的最大矩形棋盤的面積（注意正方形和矩形是可以相交或者包含的）。

Sample Input

3 3
1 0 1
0 1 0
1 0 0

Sample Output

4
6

HINT

N, M ≤ 2000

題解

此題有兩種解法1.單調棧2.懸線法

單調棧：

由於棋盤是相間式的，所以可以把橫縱座標爲奇數的全部異或（偶數也行），這樣問題就轉化成了找全0或1的矩陣，可以用單調棧解決，先預處理每一行連續1的個數，然後枚舉縱行，對橫行進行單調棧，維護一個單調遞增的棧，出現一個比棧頂元素小的數就計算面積跟新答案，注意棧中橫行的標號是連續的，新進來的i減去s[top].num就是中間矩形的高。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=100010;
int top=0,ans1,ans2,n,m,h[2010][2010],a[2010][2010];
struct node{
	int num,h;
}s[maxn];
inline void push(int i,int h){
	int now=i;
	while(top&&s[top].h>h){
		ans1=max(ans1,min(i-s[top].num,s[top].h)*min(i-s[top].num,s[top].h));
		ans2=max(ans2,s[top].h*(i-s[top].num));
		now=s[top--].num;
	}
	s[++top]=(node){now,h};
}
void work(){
	for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=1;j<=m;j++)
	h[i][j]=a[i][j]?h[i][j-1]+1:0;
	
	for(int j=1;j<=m;j++)
	{
		top=0;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		push(i,h[i][j]);
		
		push(n+1,0);
	}
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=1;j<=m;j++){
		scanf("%d",&a[i][j]);
		if((i+j)%2==1)
		a[i][j]^=1;
    }
    work();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++){
		a[i][j]^=1; 
    }
    work();
    printf("%d\n%d\n",ans1,ans2);
    return 0;
}

懸線法：

所謂懸線法就是，每一列都假設有一條線記錄這條線的高度，能到達的左端點，能到達的右端點。具體的細節在代碼中標註。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=100010;
int up[maxn],topl[maxn],topr[maxn],ans1,ans2,nowl,nowr,n,m,a[2010][2010];
void work(){
	memset(up,0,sizeof(up));
	for(int i=1;i<=m;i++) topl[i]=1,topr[i]=m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		nowl=0;nowr=m+1;
		for(int j=1;j<=m;j++){
			if(a[i][j]){
				up[j]=0;//記錄線的長度 
				nowl=j;//記錄當前障礙物的位置 
				topl[j]=1;//記錄線能走到的左端點 
			}
			else{
				up[j]++;
				topl[j]=max(topl[j],nowl+1);
			}
		}
		for(int j=m;j>=1;j--){
			if(a[i][j]){
				nowr=j;
				topr[j]=m;//記錄線能走到的右端點 
			}
			else{
				topr[j]=min(topr[j],nowr-1);
				ans1=max(ans1,min(topr[j]-topl[j]+1,up[j])*min(topr[j]-topl[j]+1,up[j]));
				ans2=max(ans2,(topr[j]-topl[j]+1)*up[j]);
			}
		}
	}
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=1;j<=m;j++){
		scanf("%d",&a[i][j]);
		if((i+j)%2==1)
		a[i][j]^=1;
    }
    work();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++){
		a[i][j]^=1; 
    }
    work();
    printf("%d\n%d\n",ans1,ans2);
    return 0;
}