動態規劃作爲一個非常成熟的算法思想，適合用動態規劃來解決的問題需要滿足一個模型三個特徵。
模型是：多階段決策最優解模型
特徵是：
1. 最優子結構
最優子結構指的是，問題的最優解包含子問題的最優解。反過來說就是，我們可以通過子問題的最優解，推導出問題的最優解。如果我們把最優子結構，對應到我們前面定義的動態規劃問題模型上，那我們也可以理解爲，後面階段的狀態可以通過前面階段的狀態推導出來。
2. 無後效性
無後效性有兩層含義，第一層含義是，在推導後面階段的狀態的時候，我們只關心前面階段的狀態值，不關心這個狀態是怎麼一步一步推導出來的。第二層含義是，某階段狀態一旦確定，就不受之後階段的決策影響。無後效性是一個非常“寬鬆”的要求。只要滿足前面提到的動態規劃問題模型，其實基本上都會滿足無後效性。
3. 重複子問題
這個概念比較好理解。前面一節，我已經多次提過。如果用一句話概括一下，那就是，不同的決策序列，到達某個相同的階段時，可能會產生重複的狀態。
數組含義代表:[0,0]到[0,1]的距離是3，[0,0]到[1,0]的距離是2,求取從[0,0]到達某點的最短路徑。
{1, 3, 5, 9},
{2, 1, 3, 4},
{5, 2, 6, 7},
{6, 8, 4, 3}
解決動態規劃問題。一般有兩種方法：
- 動態轉移表法
這種方法一般需要我們先畫出一個狀態表。狀態表一般都是二維的，所以可以把它想象成二維數組。其中，每個狀態包含三個變量，行、列、數組值。我們根據決策的先後過程，從前往後，根據遞推關係，分階段填充狀態表中的每個狀態。最後，我們將這個遞推填表的過程，翻譯成代碼，就是動態規劃代碼了。
比如說最短路徑，需要一步步遞推到達某個點的最短路徑（狀態），進行填表。
public int minDistDP(int[][] matrix, int n) {
int[][] states = new int[n][n];
int sum = 0;
for (int j = 0; j < n; ++j) { // 初始化 states 的第一行數據
sum += matrix[0][j];
states[0][j] = sum;
}
sum = 0;
for (int i = 0; i < n; ++i) { // 初始化 states 的第一列數據
sum += matrix[i][0];
states[i][0] = sum;
}
for (int i = 1; i < n; ++i) {
for (int j = 1; j < n; ++j) {
states[i][j] =
matrix[i][j] + Math.min(states[i][j - 1], states[i - 1][j]);
}
}
return states[n - 1][n - 1];
}
- 動態轉移方程法
狀態轉移方程法有點類似遞歸的解題思路。我們需要分析，某個問題如何通過子問題來遞歸求解，也就是所謂的最優子結構。根據最優子結構，寫出遞歸公式，也就是所謂的狀態轉移方程。有了狀態轉移方程，代碼實現就非常簡單了。一般情況下，我們有兩種代碼實現方法，一種是遞歸加“備忘錄”，另一種是迭代遞推。
最短路徑的狀態轉移方程是：
min_dist(i, j) = w[i][j] + min(min_dist(i, j-1), min_dist(i-1, j))
人的大腦不適宜過分深究思考遞歸的實現，需要多加鍛鍊。可以想象遍歷文件夾文件的方式。
private int[][] matrix = {{1, 3, 5, 9}, {2, 1, 3, 4}, {5, 2, 6, 7}, {6, 8, 4, 3}};
private int[][] mem = new int[4][4];//橫豎存儲4個數字
public int minDist(int i, int j) { // 調用 minDist(n-1, n-1);
if (i == 0 && j == 0) {
return matrix[0][0];
}
if (mem[i][j] > 0) {
return mem[i][j];
}
int minLeft = Integer.MAX_VALUE;
if (j - 1 >= 0) {
minLeft = minDist(i, j - 1);
}
int minUp = Integer.MAX_VALUE;
if (i - 1 >= 0) {
minUp = minDist(i - 1, j);
}
int currMinDist = matrix[i][j] + Math.min(minLeft, minUp);
mem[i][j] = currMinDist;
return currMinDist;
}