圖靈機不可判定問題

一. 圖靈機簡介
       圖靈機（Turing Machine）有有限個狀態。其中一個狀態是開始狀態。這些狀態的一個子集是接受狀態，還有一個子集是拒絕狀態。接受狀態子集和拒絕狀態子集不相交（不能有一個狀態既是接受狀態，也是拒絕狀態）。

       有一個字符集Σ，圖靈機以Σ上的字符串ω作爲輸入（ω∈Σ*，Σ*是一個集合，它的元素是：由0個或多個Σ上的字符組成的有限長度的字符串）。圖靈機還有一個字符集Γ，是”帶“（tape）字符集。Γ包含Σ中的所有字符，還必須有一個Σ中沒有的字符，就是空白字符。圖靈機的帶（tape）上一開始默認都是空白字符。圖靈機的帶，是一個無限長的帶子，分成一個個的單元格，每一個單元格上寫一個字符（初始都是空白符）。圖靈機有一個讀寫頭，總是位於帶的某一個單元格之上。讀寫頭對當前的單元格進行讀寫。讀寫頭可以順着帶子左右移動，但一次只能移動一個單元格。Γ就是圖靈機可以向帶子上寫的字符的集合。

       圖靈機的動作是這樣的：根據當前所處的狀態和當前讀到的字符，在當前單元格上寫下一個字符，向左或右移動一個單元格，進入另一個狀態（對於這些動作的規定，就是圖靈機的轉移函數δ）。一開始，將輸入字符串ω（ω∈Σ*）放在帶子上，把圖靈機的讀寫頭對準ω的第一個字符，並讓圖靈機處於開始狀態。然後圖靈機就開始一步一步地運行：讀字符、寫字符、移動讀寫頭、進入新狀態，然後再重複......直到圖靈機進入某一個接受狀態，這時圖靈機停機並接受ω。圖靈機也有可能進入一個拒絕狀態而停機，這種情況下圖靈機拒絕ω。除了這兩種情況，還有第三種情況：那就是圖靈機永遠不會停機。圖靈機既不進入接受狀態，也不進入拒接狀態，而是一直運行下去。後兩種情況，合稱圖靈機不接受ω。

       所以，對於Σ*中的一個字符串ω，這個圖靈機要麼接受它，要麼不接受它。圖靈機不接受ω，有可能是圖靈機拒絕ω，也有可能圖靈機不停機。一個圖靈機接受的所有字符串構成的集合（是Σ*的一個子集）作爲一個語言（字符串集合即爲”語言“），就是這個圖靈機”識別“的語言。

       有一類圖靈機，它們對於任何輸入字符串ω都停機（要麼接受，要麼拒絕。兩者必居其一）。這類圖靈機被稱爲判定器。被判定器識別的語言稱作被這個判定器”判定“（這類語言稱作”可判定語言“）。如果把識別一個語言作爲”計算“的通用模型（這點以後說明），那麼判定器就是可以明確地給出計算結果的圖靈機。要麼”是“，要麼”不是“。

       一個圖靈機的“程序”，就是固化在它的狀態集以及轉移函數δ中的“動作”。但也可以構建一個”通用圖靈機“，它的輸入字符串是一個”序列化“了的圖靈機M和一個字符串ω。”通用圖靈機“在字符串ω上模擬圖靈機M的行爲，產生和M一樣的結果（接受、拒絕或不停機）。一個圖靈機只有有限個狀態、有窮字符集Σ和帶字符集Γ，以及定義域和值域都是有窮離散集合的轉移函數δ，所以只要約定好了格式，一個圖靈機就可以用一個字符串來描述（序列化成了一個字符串）。”通用圖靈機“有點像可存儲程序的馮.諾依曼計算機。

二. 計算、算法與圖靈-邱奇論題
       你也許會覺得：圖靈機是幹嗎使的？答案：計算。那什麼是計算？圖靈機乾的事情就是計算。那2×3＝6圖靈機能算麼？如果你把"aa|aaa"作爲輸入字符串ω提供給某個圖靈機，這個圖靈機停機，並在帶子上留下aaaaaa。你給了它2個a和3個a，它給了你6個a，它不就是計算了2×3＝6麼。

       這裏對”圖靈機編程“不做詳細介紹了。總之圖靈和邱奇證明，任何有步驟的、確定的計算過程，都可以由圖靈機實現。任何可執行計算的裝置：算盤、珍尼紡紗機、超級計算機等等，都可以由一臺圖靈機模擬。也就是說：任何計算裝置，都無法超過圖靈機的能力。圖靈機也就定義了計算和算法。

       一切計算問題都可以等價於字符串接受/不接受問題，也就是語言的識別（也許是判定）問題。也就是說一切”計算“，都可由圖靈機進行。

三. 圖靈機不可判定問題
       上面說，有些語言（字符串集合）可被一個判定器（總會停機的圖靈機）判定（識別）。給一個字符串ω，這個判定器得出結論：ω是否屬於這個語言。這些語言是”可判定“語言。那麼是否存在不可判定語言？也就是是否存在一個語言，不存在一個判定器可以判定它？答案是”是“。設想下面的語言：

       A = {(<M>,ω) | <M>是表示圖靈機M的字符串，ω是一個字符串。M接受ω}

       也就是，語言A中的字符串都有兩部分組成：第一部分是一個圖靈機M的字符串表示<M>；第二部分是一個字符串ω。且M接受ω。

       假設語言A是可判定的，也就是存在一個判定器H。當M接受ω時，H接受(<M>,ω)；當M不接受ω時，H拒絕(<M>,ω)。（注意H是一個判定器，它總會停機，接受或拒絕(<M>,ω)）。那麼我們對H稍加改造，將它的結果取一下反：當M接受ω時，H拒絕(<M>,ω)；當M不接受ω時，H接受(<M>,ω)。這很容易，只要把H的接收狀態和拒絕狀態互換一下身份即可。

       然後我們可以再對H做一個變化，它的輸入字符串僅僅是一個圖靈機M的序列化字符串<M>，餵給這個M的輸入不再是某個字符串ω，而就是字符串<M>本身。那麼H的行爲就變成了：輸入給它一個表示某個圖靈機的字符串<M>。把<M>當做給圖靈機M的輸入，若M接受<M>，則H拒絕<M>；若M不接受<M>，則H接受<M>。

       精彩之處到了：若把H自己的序列化字符串<H>提供給H會發生什麼？當H接受<H>時，H拒絕<H>；當H不接受<H>時，H接受<H>。理髮師悖論。唯一的結論只能是，H不可能存在。就是說對於語言A，不可能構造一個判定器去判定它。A是不可判定語言。不可判定語言是存在的。

　　再換一種方式說一遍（不帶任何符號，爭取用話說明白）：假如存在一個判定器（還記得判定器麼?就是總會停機的圖靈機，要麼接受，要麼拒絕，反正不會不停機），以一個圖靈機的描述（也是一個字符串）和一個字符串作爲輸入。它可以判定這個圖靈機是否接受這個字符串，也就是：這個圖靈機接受這個字符串，我這個判定器就停機接受；這個圖靈機不接受這個字符串，我這個判定器就停機拒絕。（注意我這個既然是判定器，它就能做到上邊說的）。那麼以這個判定器爲基礎，就可以構造另一個判定器，這個判定器只拿一個圖靈機的描述（一個字符串）當輸入，然後把這個描述本身當做給這個圖靈機的輸入，判斷這個圖靈機是否接受它自己的描述：它接受，我判定器就停機並接受；它不接受，我判定器就停機並拒絕。然後以這個判定器爲基礎，再改造一下。這次改造簡單，只是把接受和拒絕反一下：判定器的輸入是一個圖靈機的描述（一個字符串），然後判定這個圖靈機是否接受它自己的描述：它接受，我判定器就停機且接受；它不接受，我判定器就停機且拒絕。沒問題吧。好！現在把我這個判定器自己的描述輸入給它，它將如何？它將在自己接受自己的描述時拒絕自己的描述；在自己不接受自己的描述時接受自己的描述。悖論了！

       如果存在不可判定語言，那麼必然存在不可識別語言。就是無法構造一個圖靈機，接受這個語言的每一個字符串（用不着拒絕每一個不屬於這個語言的字符串，因爲這裏說的是識別，而不是判定）。因爲：如果一個語言L和它的補^L都是圖靈機可識別的，那麼L是可判定的。證明：設識別L的圖靈機是M1，識別^L的圖靈機是M2。構造圖靈機M，它在字符串ω上交替地一步一步地模擬M1和M2。因爲一個字符串要麼屬於L，要麼屬於^L，也就是對於一個字符串ω，要麼M1進入接受狀態，要麼M2進入接受狀態。於是M總會看到M1或M2（之一）進入接受狀態。如M1進入接受狀態，則M停機並接受ω；若M2進入接受狀態，則M停機拒絕ω。那麼M就成了語言L的一個判定器。所以如果一個語言不可判定，必然它或者它的補是不可識別的。不可識別語言是存在的。

       一個不可判定的語言，就是一個不可計算的問題。那是一個超出了計算機能力的問題，一個不能被任何有步驟的、確定性的算法所能解決的問題。那是什麼樣的問題？也許是女人心吧。