图灵机不可判定问题

一. 图灵机简介
       图灵机（Turing Machine）有有限个状态。其中一个状态是开始状态。这些状态的一个子集是接受状态，还有一个子集是拒绝状态。接受状态子集和拒绝状态子集不相交（不能有一个状态既是接受状态，也是拒绝状态）。

       有一个字符集Σ，图灵机以Σ上的字符串ω作为输入（ω∈Σ*，Σ*是一个集合，它的元素是：由0个或多个Σ上的字符组成的有限长度的字符串）。图灵机还有一个字符集Γ，是”带“（tape）字符集。Γ包含Σ中的所有字符，还必须有一个Σ中没有的字符，就是空白字符。图灵机的带（tape）上一开始默认都是空白字符。图灵机的带，是一个无限长的带子，分成一个个的单元格，每一个单元格上写一个字符（初始都是空白符）。图灵机有一个读写头，总是位于带的某一个单元格之上。读写头对当前的单元格进行读写。读写头可以顺着带子左右移动，但一次只能移动一个单元格。Γ就是图灵机可以向带子上写的字符的集合。

       图灵机的动作是这样的：根据当前所处的状态和当前读到的字符，在当前单元格上写下一个字符，向左或右移动一个单元格，进入另一个状态（对于这些动作的规定，就是图灵机的转移函数δ）。一开始，将输入字符串ω（ω∈Σ*）放在带子上，把图灵机的读写头对准ω的第一个字符，并让图灵机处于开始状态。然后图灵机就开始一步一步地运行：读字符、写字符、移动读写头、进入新状态，然后再重复......直到图灵机进入某一个接受状态，这时图灵机停机并接受ω。图灵机也有可能进入一个拒绝状态而停机，这种情况下图灵机拒绝ω。除了这两种情况，还有第三种情况：那就是图灵机永远不会停机。图灵机既不进入接受状态，也不进入拒接状态，而是一直运行下去。后两种情况，合称图灵机不接受ω。

       所以，对于Σ*中的一个字符串ω，这个图灵机要么接受它，要么不接受它。图灵机不接受ω，有可能是图灵机拒绝ω，也有可能图灵机不停机。一个图灵机接受的所有字符串构成的集合（是Σ*的一个子集）作为一个语言（字符串集合即为”语言“），就是这个图灵机”识别“的语言。

       有一类图灵机，它们对于任何输入字符串ω都停机（要么接受，要么拒绝。两者必居其一）。这类图灵机被称为判定器。被判定器识别的语言称作被这个判定器”判定“（这类语言称作”可判定语言“）。如果把识别一个语言作为”计算“的通用模型（这点以后说明），那么判定器就是可以明确地给出计算结果的图灵机。要么”是“，要么”不是“。

       一个图灵机的“程序”，就是固化在它的状态集以及转移函数δ中的“动作”。但也可以构建一个”通用图灵机“，它的输入字符串是一个”序列化“了的图灵机M和一个字符串ω。”通用图灵机“在字符串ω上模拟图灵机M的行为，产生和M一样的结果（接受、拒绝或不停机）。一个图灵机只有有限个状态、有穷字符集Σ和带字符集Γ，以及定义域和值域都是有穷离散集合的转移函数δ，所以只要约定好了格式，一个图灵机就可以用一个字符串来描述（序列化成了一个字符串）。”通用图灵机“有点像可存储程序的冯.诺依曼计算机。

二. 计算、算法与图灵-邱奇论题
       你也许会觉得：图灵机是干吗使的？答案：计算。那什么是计算？图灵机干的事情就是计算。那2×3＝6图灵机能算么？如果你把"aa|aaa"作为输入字符串ω提供给某个图灵机，这个图灵机停机，并在带子上留下aaaaaa。你给了它2个a和3个a，它给了你6个a，它不就是计算了2×3＝6么。

       这里对”图灵机编程“不做详细介绍了。总之图灵和邱奇证明，任何有步骤的、确定的计算过程，都可以由图灵机实现。任何可执行计算的装置：算盘、珍尼纺纱机、超级计算机等等，都可以由一台图灵机模拟。也就是说：任何计算装置，都无法超过图灵机的能力。图灵机也就定义了计算和算法。

       一切计算问题都可以等价于字符串接受/不接受问题，也就是语言的识别（也许是判定）问题。也就是说一切”计算“，都可由图灵机进行。

三. 图灵机不可判定问题
       上面说，有些语言（字符串集合）可被一个判定器（总会停机的图灵机）判定（识别）。给一个字符串ω，这个判定器得出结论：ω是否属于这个语言。这些语言是”可判定“语言。那么是否存在不可判定语言？也就是是否存在一个语言，不存在一个判定器可以判定它？答案是”是“。设想下面的语言：

       A = {(<M>,ω) | <M>是表示图灵机M的字符串，ω是一个字符串。M接受ω}

       也就是，语言A中的字符串都有两部分组成：第一部分是一个图灵机M的字符串表示<M>；第二部分是一个字符串ω。且M接受ω。

       假设语言A是可判定的，也就是存在一个判定器H。当M接受ω时，H接受(<M>,ω)；当M不接受ω时，H拒绝(<M>,ω)。（注意H是一个判定器，它总会停机，接受或拒绝(<M>,ω)）。那么我们对H稍加改造，将它的结果取一下反：当M接受ω时，H拒绝(<M>,ω)；当M不接受ω时，H接受(<M>,ω)。这很容易，只要把H的接收状态和拒绝状态互换一下身份即可。

       然后我们可以再对H做一个变化，它的输入字符串仅仅是一个图灵机M的序列化字符串<M>，喂给这个M的输入不再是某个字符串ω，而就是字符串<M>本身。那么H的行为就变成了：输入给它一个表示某个图灵机的字符串<M>。把<M>当做给图灵机M的输入，若M接受<M>，则H拒绝<M>；若M不接受<M>，则H接受<M>。

       精彩之处到了：若把H自己的序列化字符串<H>提供给H会发生什么？当H接受<H>时，H拒绝<H>；当H不接受<H>时，H接受<H>。理发师悖论。唯一的结论只能是，H不可能存在。就是说对于语言A，不可能构造一个判定器去判定它。A是不可判定语言。不可判定语言是存在的。

　　再换一种方式说一遍（不带任何符号，争取用话说明白）：假如存在一个判定器（还记得判定器么?就是总会停机的图灵机，要么接受，要么拒绝，反正不会不停机），以一个图灵机的描述（也是一个字符串）和一个字符串作为输入。它可以判定这个图灵机是否接受这个字符串，也就是：这个图灵机接受这个字符串，我这个判定器就停机接受；这个图灵机不接受这个字符串，我这个判定器就停机拒绝。（注意我这个既然是判定器，它就能做到上边说的）。那么以这个判定器为基础，就可以构造另一个判定器，这个判定器只拿一个图灵机的描述（一个字符串）当输入，然后把这个描述本身当做给这个图灵机的输入，判断这个图灵机是否接受它自己的描述：它接受，我判定器就停机并接受；它不接受，我判定器就停机并拒绝。然后以这个判定器为基础，再改造一下。这次改造简单，只是把接受和拒绝反一下：判定器的输入是一个图灵机的描述（一个字符串），然后判定这个图灵机是否接受它自己的描述：它接受，我判定器就停机且接受；它不接受，我判定器就停机且拒绝。没问题吧。好！现在把我这个判定器自己的描述输入给它，它将如何？它将在自己接受自己的描述时拒绝自己的描述；在自己不接受自己的描述时接受自己的描述。悖论了！

       如果存在不可判定语言，那么必然存在不可识别语言。就是无法构造一个图灵机，接受这个语言的每一个字符串（用不着拒绝每一个不属于这个语言的字符串，因为这里说的是识别，而不是判定）。因为：如果一个语言L和它的补^L都是图灵机可识别的，那么L是可判定的。证明：设识别L的图灵机是M1，识别^L的图灵机是M2。构造图灵机M，它在字符串ω上交替地一步一步地模拟M1和M2。因为一个字符串要么属于L，要么属于^L，也就是对于一个字符串ω，要么M1进入接受状态，要么M2进入接受状态。于是M总会看到M1或M2（之一）进入接受状态。如M1进入接受状态，则M停机并接受ω；若M2进入接受状态，则M停机拒绝ω。那么M就成了语言L的一个判定器。所以如果一个语言不可判定，必然它或者它的补是不可识别的。不可识别语言是存在的。

       一个不可判定的语言，就是一个不可计算的问题。那是一个超出了计算机能力的问题，一个不能被任何有步骤的、确定性的算法所能解决的问题。那是什么样的问题？也许是女人心吧。