數據結構與算法學習03-線性表

一、線性表的定義
線性表（List）是由零個或多個數據元素組成的有限數列。
特點：
1.線性表是一個序列，各個元素之間按照順序排列。
2.若元素存在多個，則第一個元素無前驅，最後一個元素無後繼，其他元素都有且只有一個前驅和後繼。
3.線性表具有有限性，它處理的元素是有限的。線性表元素的個數n（n>=0）定義爲線性表的長度，當n=0時稱爲空表。
二、抽象數據類型
數據類型：指一組性質相同的值的集合及定義在此集合上的一些操作的總稱。
抽象數據類型（Abstract Data Type , ADT）：是指一個數學模型及定義在該模型上的一組操作。抽象數據類型的定義僅取決於它的邏輯特性，與其在計算及內部如何表示和實現無關。
描述抽象數據類型的格式：

ADT 抽象數據類型名
Data
    數據之間的邏輯關係的定義
Operation
    操作
endADT

三、線性表的抽象數據類型

線性表的基本操作：

ADT 線性表List
Data
    線性表的數據對象集合爲{a1,a2,...,an}，每個元素的類型相同。除了第一個元素a1外，每一個元素都有一個直接前驅元素；除了最後一個元素an外，每個元素都有一個直接後繼元素。數據元素之間是一對一的關係。
Operation
    InitList(*L)：初始化操作，創建一個空的線性表L。
    ListEmpty(L)：判斷線性表是否爲空表，若爲空表返回true；否則返回false。
    ClearList(*L)：將線性表清空。
    GetElem(L,i,*e)：將線性表的第i個位置的元素返回給e。
    LocateElem(L,e)：在線性表L中查找與給定值e相等的元素，如果查找成功，返回該元素在表中的序號表示成功；否則返回0表示失敗。
    ListInsert(*L,i,e)：在線性表L中第i個位置插入新元素e。
    ListDelete(*L,i,*e)：刪除線性表中第i個元素，並用e返回其值。
    ListLength(L)：返回線性表L的元素個數。
endADT

四、線性表的存儲結構及其C語言實現
線性表有兩種存儲結構：順序存儲和鏈式存儲結構。
1.順序存儲結構
概念：
用一段地址連續的存儲單元依次存儲線性表的數據元素。
C語言代碼：

a.定義線性表

#define MAXSIZE 20    //最大存儲容量
typedef int ElemType;    //類型，這裏定義爲整形
typedef struct
{
    ElemType data[MAXSIZE];    //data位置是線性表存儲空間起始位置
    int length;    //當前長度
}SqList;

順序存儲結構中，可以計算出線性表中任意一個位置的地址，計算方法如下：LOC(ai)=LOC(a1)+(i-1)*c（第一個元素爲a1，c爲存儲單元寬度）。存儲時間的性能爲O(1)，通常稱爲隨機存儲結構。

b.獲取第i個位置元素值

typedef int Status;

//Status是函數的類型，其值是函數結果狀態代碼，這裏設爲int,返回0表示失敗1表示成功。
//初始條件：線性表L存在，且1<=i<=ListLength(L)。
//操作結果：用e返回第i個元素（a[i-1]）的值。

Status GetElem(SqList L,int i,ElemType *e){
    if(L.Length==0||i<1||i>L.Length){return 0;}
    *e=L.data[i-1];
    return 1;
}

c.插入操作（插入到第i個位置）
·如果插入位置不合理，拋出異常。
·如果線性表長度大於等於數組長度，拋出異常或者動態擴容。
·從最後一個元素開始向前遍歷到第i個位置，分別將他們向後移動一個位置。
·將元素插入第i個位置。
·線性表長度+1。

Status ListInsert(SqList *L,int i,ElemType e){
    int k;
    if(L->length==MAXSIZE){return 0;}//線性表已滿
    if(i<1||i>L->length+1){return 0;}//插入位置不在範圍內
    if(i<=L->length){//若插入位置在表中間，則將後面的元素向後移動
        for(k=L->length-1;k>=i-1;k--){
            L->data[k+1]=L->data[k];}   
    }
    L->data[i]=e;//插入
    L->length++;//修改長度
    return 1;
}

d.刪除操作
·如果刪除位置不合理，拋出異常。
·取出刪除元素。
·從刪除位置開始向後遍歷，分別將元素向前移動。
·表長-1。

Status ListDelete(SqList *L,int i,ElemType e){
    int k;
    if(L->length==0){return 0;}//表長爲空，拋出異常
    if(i<1||i>L->length){return 0;}//刪除位置不合理
    *e=L->data[i-1];//取出刪除元素
    if(i<L->length){//移動數據元素
        for(k=i;k<L->length;k++){
            L->data[k-1]=L->data[k];}
    }
    L->length--;//長度減一
    return 1;
}

*插入和刪除操作複雜度分析：
最好情況：待操作元素剛好在最後一位，不需要移動任何元素，複雜度爲O(1)。
最壞情況：待操作元素剛好在第一位，需要移動所有元素，複雜度爲O(n)。
平均情況：O((n-1)/2)=O(n)。

2.鏈式存儲結構
概念：
·用一組任意存儲單元存儲線性表（內存中的任意位置，不要求連續）。除了存儲數據元素信息，還要存儲它的後繼元素的指針（地址）。
·把存儲數據信息部分稱爲數據域，把存儲後繼位置部分稱爲指針域。兩部分信息組成的數據元素稱爲節點（Node）。n個節點連成線性表的線性存儲結構–鏈表。
·鏈表存儲結構不像順序存儲結構那麼集中，數據可以分散在內存的各個角落，它的增長也是動態的，所佔用的空間大小和位置是不需要預先分配和劃定的，可根據系統的情況和實際的需求即時生成。
單鏈表（只包含一個指針域的鏈表稱爲單鏈表）組成：
a.頭指針
·頭指針指向鏈表第一個節點（頭節點）。
·頭指針有標識左右，常用頭指針冠以鏈表名字。
·無論鏈表是否爲空，頭指針均不爲空。
·頭指針是鏈表必要元素。
b.頭結點
·爲了操作的統一和方便而設立，放在第一個元素節點之前。
·頭結點不一定是鏈表的必須要素。
C語言代碼：
a.定義

typedef struct Node
{
    ElemType data;//數據域
    struct Node *Next;//指針域
}Node;
typedef struct Node *LinkList;

p->data的值是一個數據元素；p->next的值是一個指針，指向第i+1個元素。
b.單鏈表的讀取
·聲明一個節點P指向鏈表的第一個節點，初始化j從1開始。
·當j小於i時，讓p的指針向後移動，不斷指向下一個節點j+1。
·若到鏈表末尾p爲空，則說明第i個元素不存在。
·若查找成功，返回節點p的值。

Status GetElem(LinkList L,int i,ElemType *e){
    int j;
    LinkList p; //p爲上面定義的指向節點的指針類型
    p=L->next; //p指向L中第一個節點
    j=1; //計數器初始化
    while(p&&j<i){ //循環遍歷鏈表，直到找到第i個元素
        p=p->next;
        ++j;
    }
    if(!p||j>i){ //沒有找到，拋出異常
        return 0;
    }
    *e=p->data; //將第i個元素的數據值存放到e中
    return 1;
}

單鏈表讀取操作的複雜度分析：
最好情況爲i=1時，不需要遍歷，O(1)；最壞爲i=n時，需要遍歷整個鏈表O(n)。
平均情況複雜度爲O(n)。
c.單鏈表的插入（插入到第i個節點後）
·聲明一節點p指向鏈表頭節點，初始化j從1開始。
·遍歷鏈表，向後移動p的指針，j累加1。
·若達到鏈表末尾p爲空，則第i個元素不存在；否則查找成功，生成一個空節點S。
·將數據元素賦值給S->data。
·將S->next指向p->next；將p->next指向s。插入完成。

Status ListInsert(LinkList *L,int i,ElemType e){
    int j;
    LinkList p,s;  //指向節點的指針，新的空節點s
    p=*L; //p初始化，從頭結點開始
    j=1; //j初始化，從1開始
    while(p&&j<i){ //遍歷鏈表找到第i個節點
        p=p->next;
        j++;
    }
    if(!p||j>i){return 0;} //未找到，拋出異常
    s=(LinkList)malloc(sizeof(Node)); //創建新的節點s
    s->data=e; //給s賦值
    s->next=p->next; //插入操作，只需要操作指針
    p->next=s;
    return 1; 
}

d.刪除操作（刪除第i個節點的後繼節點）
·只需要將它的前驅節點的指針指向它（待刪除的節點）的後繼節點即可。遍歷步驟同插入操作相同。

Status ListDelete(LinkList *L,int i,ElemType *e){
    int j;
    LinkList p,q; 
    p=*L; //初始化P,從頭結點開始
    j=1;
    while(p->next&&j<i){ //查找到第i個元素
        p=p->next;
        ++j;
    }
    if(!(p-next)||j>i){return 0;} //未找到，拋出異常
    q=p->next; 
    p->next=q->next; //將第i個元素指針繞過第i+1個元素指向第i+2個元素
    *e=q->data; //待刪除的元素數據值存放到e中
    free(q); //釋放刪除的節點
    return 1;
}

插入和刪除操作的時間複雜度分析：
·插入和刪除操作都是由兩部分組成，即遍歷鏈表查找第i個元素和修改指針。時間複雜度都爲O(n)。
·與順序存儲結構對比，如果只操作一個元素，則無明顯優勢；若一次操作多個元素，順序存儲結構每個元素操作複雜度都爲O(n)，而鏈表只有第一次爲O(n)，剩下的元素每次只需O(1)（只需要修改指針，不需再次遍歷）。
e.單鏈表的整表創建
·聲明一個節點p和計數變量i。
·初始化一空鏈表L。
·讓L的頭結點的指針指向NULL，即建立一個帶頭結點的單鏈表。
·後繼節點的賦值和插入。

//頭插法建立單鏈表
//總是把新加進來的元素放在表頭後的第一個位置

void CreatListHead(LinkList *L,int n){
    LinkList p; //臨時變量p，用來存放新生成的節點
    int i; 
    srand(time(0));
    *L=(LinkList)malloc(sizeof(Node)); //生成頭結點
    (*L)->next=NULL; 
    for(i=0;i<n;i++){
        //創建新節點
        p=(LinkList)malloc(sizeof(Node)); 
        //用隨機數填充新節點的內容
        p->data=rand()*100; 
        //先讓新節點的next指向頭節點之後，然後讓表頭的next指向新的節點
        p->next=(*L)->next; 
        (*L)->next=p;
    }
}

//尾插法建立單鏈表
void CreatListHead(LinkList *L,int n){
    LinkList p,r; //臨時變量p，用來存放新生成的節點;r用來存放最後一個節點
    int i; 
    srand(time(0));
    *L=(LinkList)malloc(sizeof(Node));
    r=*L; //初始化r指向表的頭結點
    for(i=0;i<n;i++){
        p=(Node *)malloc(sizeof(Node));
        p->data=rand()%100+1;
        r->next=p; //最後一個節點指向新加進來的節點
        r=p; //設置新進來的節點爲最後一個節點
    }
    r->next=NULL;
}

f.單鏈表的整表刪除
·聲明節點p，q。
·將第一個節點賦值給p，下一個節點賦值給q。
·循環執行釋放p和將q賦值給p的操作。

Status ClearList(LinkList *L){
    LinkList p,q;
    p=(*L)->next;
    while(p){
        q=p->next;
        free(p); 
        p=q;
    }
    (*L)->next=NULL;
    return 1;
}

五、線性表不同存儲結構優缺點分析
1.存儲分配方式
·順序存儲結構用一段連續的存儲單元依次存儲線性表的數據元素。
·鏈式存儲結構用一組任意的存儲單元存放線性表的元素。
2.時間性能
·查找
-順序存儲結構O(1)。
-單鏈表O(n)。
·插入和刪除
-順序存儲結構需要平均移動表長一半的元素，複雜度O(n)。
-單鏈表在計算出某位置的指針後，插入和刪除時間僅爲O(1)。
·空間性能
-順序存儲結構需要預先分配存儲空間，太大容易造成浪費，太小則容易溢出。
-單鏈表不需要分配存儲空間，只要有就可以分配，元素個數也不受限制。
3.綜合對比
·若線性表需要頻繁查找，很少進行插入和刪除操作，宜採用順序存儲結構。
·若需要頻繁插入和刪除操作，則宜使用單鏈表。
·當元素個數變化較大或者根本不知道有多大時，最好使用單鏈表結構。
·如果事先知道線性表大致長度，宜使用順序存儲結構。