公式解釋：
Magnetci Moment μ : 在磁場中所受最大力和B的比。
Angular Momentum J=mωr2 ———————1
gyromagnetic ratio γ=μJ ————-2
ex: 以單個質子爲例
μ=IA=qTπr2 ———————————-3
J=mωr2=m2πr2T —————4
γ=μJ=q2m 對於每一種物質是個定量—–8
torque τ⃗ =μ⃗ ×B⃗ ————5
又根據定義τ⃗ =dJ⃗ dt —————-6
得到dJ⃗ dt=μ⃗ ×B⃗ —————7
帶入8式得到 dμ⃗ dt=γ(μ⃗ ×B⃗ ) ———–9
*求解9的過程：
At time 0, μ(0)→=μx0x⃗ +μy0y⃗ +μz0z⃗ .
dμxdt=γμyB
dμydt=−γμxB
dμzdt=0
解得：
μ(t)→=(μx0cosωt+μy0sinωt)x⃗ +(μy0cosωt−μx0sinωt)y⃗ +μz0z⃗
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high-energy state和low-energy state之間能量差
反轉一個spin需要做功：W=−∫π0τdθ=−∫π0μBsinθdθ=2μB —————————1
Bohr relation: W=ΔE=hv ——————-2
由1、2得到
v=ΔEh=2μhB
實驗經驗數據：一個質子的J 在longitudian方向上的分量爲h^/2,h^=h/2π ———————————-3
所以μ=γJ=γh^2=γh4π ———————————–4
4帶入3得到：Larmor frequency v=γ2πB
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Pp+Pa=1 —————————-1
PpPa=eΔEkBT≈1+ΔEkBT —————————-2
由1、2解得 Pp−Pa≈ΔE2kBT ——————–3
所以net magnetization M⃗ =(Pp−Pa)nμzz⃗ =ΔE2kBTnμzz⃗ (n是protons per unit volume)——————————4
dMxdt=γMyB
dMydt=−γMxB
dMzdt=0
解得：
M(t)→=(Mx0cosωt+My0sinωt)x⃗ +(My0cosωt−Mx0sinωt)y⃗ +Mz0z⃗
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Excitation
electromagnetic excitation pulse: B1→=B1x⃗ cosωt−B1y⃗ sinωt
後面會使用旋轉座標系，旋轉座標系中的x′→,y′→ 與實驗座標系中x⃗ ,y⃗ 的關係：
x′→=x⃗ cosωt−y⃗ sinωt ———————-1
y′→=x⃗ sinωt+y⃗ cosωt ———————–2
在旋轉座標系下：
M⃗ =M0z⃗
B1→=B1x′→
由前面我們知道：dM⃗ dt=γM⃗ ×B⃗ ——————-3
由1、2、3可以推出δM⃗ δt=γM⃗ ×B1eff→ ，其中B1eff=z⃗ (B0−ωγ)+x′→B1→
在on-resonance時，ω=γB0
所以ωrot=γB1eff=γB1
W與x’y’平面的角度θ=γB1T
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Signal reception
electromotive force： emf=−dΦdt (Φ=∫sBds )
Φ=∫sB1¯M(t)dv (B1¯ 是magneticfield per unit current)
由上兩式可得：emf=−iω0∫vB1¯M(t)dv
信號強度與B20 成正比，噪聲強度與B0 成正比，所以信噪比與B0 成正比。
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Relaxation
Mz→=M0→(1−e−tT1)
Mxy→=M0→(e−tT2)
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Bloch Equation
dM⃗ dt=γM⃗ ×B⃗ +1T1(M0→−Mz→)−1T2(Mx→+My→)
