GIS中的計算幾何(一)

GIS中的計算幾何(一)

2007-08-17 15:46

 

陳玉進 李泉 南京跬步科技有限公司（http://www.creable.cn）

 

GIS是一個圖形系統，必然會涉及到幾何學的理論應用，比如，圖形可視化，空間拓撲分析，GIS圖形編輯等都需要用到幾何。向量幾何是用代數的方法來研究幾何問題，首先，請大家翻一翻高等數學裏有關向量的章節，熟悉一下幾個重要的概念：向量、向量的模、向量的座標表示、向量的加減運算、向量的點積、向量的叉積，以及這些概念的幾何意義...下面我們將用這些基本概念來解答GIS中一些幾何問題。

1   點和線的關係

        點是否在線段上，這樣的判斷在圖形編輯，拓撲判斷(比如，GPS跟蹤點是否跑在線上)需要用到這樣的判斷。通常的想法是：先求線段的直線方程，再判斷點是否符合這條直線方程，如果符合，還要判斷點是否在線段所在的矩形區域(MBR)內，以排除延長線上的可能性，如果不符合，則點不在線段上。這種思路是可行的，但效率不高，涉及到建立方程，解方程。藉助向量的叉積（也叫向量的向量積，結果還是向量，有方向的）可以很容易的判斷。設向量a=(Xa,Ya,Za)  b=(Xb,Yb,Zb)  向量叉積a X b如下：

二維向量叉積的模 |a X b|=|a|*|b|*sinα=|Xa*Yb-Ya*Xb| （α是向量a,b之間的夾角），向量叉積模的幾何意義是以向量a,b爲鄰邊的平行四邊形的面積。可以推測：如果兩向量共線，向量叉積模(所代表的

平行四邊形的面積) 爲零 則                       

|a X b|=|a|*|b|*sinα=|Xa*Yb-Ya*Xb|=0,否則不共線，叉積的模爲非零，根據這樣條件可以很輕鬆的判斷點和線的關係，避免了建立方程和解方程的麻煩。

        向量叉積的模|AB X AC|=0即可判斷C點在AB所確定的直線上，再結合C點是否在AB所在的MBR範圍內，就可以最終確定C是否在AB線段上。關於點和線段的其他關係，都可以通過叉積的求得，比如 判斷點在線的哪一側，右手法則，可以通過a X b= (Xa*Yb-Ya*Xb)*k中的（Xa*Yb-Ya*Xb）正負來判斷。留給大家思考，很簡單的，呵呵…

2   線和線的關係

        判斷兩條線段是否相交，在很多拓撲判斷和圖形編輯 (比如，線的打斷來構建拓撲，編輯線對象，疊置分析，面與面關係的判斷等) 中都需要用到線線相交的判斷，如果兩條線段相交，一條線段的兩端點必然位於另一條線段的兩側（不考慮退化情況，也就是一條線段的端點在另一條線段上，這個很容易判斷）

兩向量的叉積a X b= (Xa*Yb-Ya*Xb)*k ，分別判斷AB X AC的方向與AB X AD的方向是否異號，再判斷CD X CA 的方向與CD X CB的方向是否異號，即可判斷兩線段是否相交。

退化情況，即一條線的端點落在另一條線上。運用”點是否在線段上”的方法來判定。詳細區分留給大家思考。呵呵…

        利用向量的方向還可以判斷線段的轉向，這個在道路導航中有所應用：

3   點和麪的關係

在各種拓撲判斷中（比如，面對象的選取，包含關係的判斷等）需要判斷一個點是否位於某個面內，經典的方法就是“垂線法”，在直角座標系中，從這個點向X軸作射線，判斷射線與多邊形的交點個數（不考慮退化情況，退化情況下，判斷點或者射線與多邊形端點或者邊的關係），如果爲奇數，則點在面內，爲偶數，則點在面外。

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