排序算法的穩定性

排序算法的穩定性

名詞解釋：假定在待排序的記錄序列中，存在多個具有相同的關鍵字的記錄，若經過排序，這些記錄的相對次序保持不變，即在原序列中，A1=A2，且A1在A2之前，而在排序後的序列中A1仍在A2之前，則稱這種排序算法是穩定的；否則稱爲不穩定的。

判斷方法

對於不穩定的排序算法，只要舉出一個實例，即可說明它的不穩定性；而對於穩定的排序算法，必須對算法進行分析從而得到穩定的特性。需要注意的是，排序算法是否爲穩定的是由具體算法決定的，不穩定的算法在某種條件下可以變爲穩定的算法，而穩定的算法在某種條件下也可以變爲不穩定的算法。

void BubbleSort(int *arr, int n)
{
    int i, j, flag = 1; 
    int temp;
    for (i = 1; i < n && flag == 1; i++)
    {
        flag = 0;
        for (j = 0; j < n - i; j++)
        {
            if (arr[j] >arr[j + 1])
            {                             
                flag = 1;
                temp = a[j];
                a[j] = a[j + 1];
                a[j + 1] = temp;
            }
        }
    }
}
/*此算法本來是穩定的但是如果將判斷條件改爲a[j].key >=a[j+1].key，
則會影響原來數值相同數據的的位置，就會變成不穩定的排序方法*/

常見算法的穩定性分析

堆排序、快速排序、希爾排序、直接選擇排序不是穩定的排序算法，而基數排序、冒泡排序、直接插入排序、折半插入排序、歸併排序是穩定的排序算法。

其次，說一下穩定性的好處。排序算法如果是穩定的，那麼從一個鍵上排序，然後再從另一個鍵上排序，第一個鍵排序的結果可以爲第二個鍵排序所用。基數排序就 是這樣，先按低位排序，逐次按高位排序，低位相同的元素其順序再高位也相同時是不會改變的。

八大排序分析：
(1)冒泡排序
冒泡排序就是把小的元素往前調或者把大的元素往後調。比較是相鄰的兩個元素比較，交換也發生在這兩個元素之間。所以，如果兩個元素相等，我想你是不會再無 聊地把他們倆交換一下的；如果兩個相等的元素沒有相鄰，那麼即使通過前面的兩兩交換把兩個相鄰起來，這時候也不會交換，所以相同元素的前後順序並沒有改 變，所以冒泡排序是一種穩定排序算法。
(2)選擇排序
選擇排序是給每個位置選擇當前元素最小的，比如給第一個位置選擇最小的，在剩餘元素裏面給第二個元素選擇第二小的，依次類推，直到第n-1個元素，第n個 元素不用選擇了，因爲只剩下它一個最大的元素了。那麼，在一趟選擇，如果當前元素比一個元素小，而該小的元素又出現在一個和當前元素相等的元素後面，那麼 交換後穩定性就被破壞了。比較拗口，舉個例子，序列5 8 5 2 9， 我們知道第一遍選擇第1個元素5會和2交換，那麼原序列中2個5的相對前後順序就被破壞了，所以選擇排序不是一個穩定的排序算法。
(3)插入排序
插入排序是在一個已經有序的小序列的基礎上，一次插入一個元素。當然，剛開始這個有序的小序列只有1個元素，就是第一個元素。比較是從有序序列的末尾開 始，也就是想要插入的元素和已經有序的最大者開始比起，如果比它大則直接插入在其後面，否則一直往前找直到找到它該插入的位置。如果碰見一個和插入元素相 等的，那麼插入元素把想插入的元素放在相等元素的後面。所以，相等元素的前後順序沒有改變，從原無序序列出去的順序就是排好序後的順序，所以插入排序是穩 定的。
(4)快速排序
快速排序有兩個方向，左邊的i下標一直往右走，當a[i] <= a[center_index]，其中center_index是中樞元素的數組下標，一般取爲數組第0個元素。而右邊的j下標一直往左走，當a[j] > a[center_index]。如果i和j都走不動了，i <= j, 交換a[i]和a[j],重複上面的過程，直到i>j。 交換a[j]和a[center_index]，完成一趟快速排序。在中樞元素和a[j]交換的時候，很有可能把前面的元素的穩定性打亂，比如序列爲 5 3 3 4 3 8 9 10 11， 現在中樞元素5和3(第5個元素，下標從1開始計)交換就會把元素3的穩定性打亂，所以快速排序是一個不穩定的排序算法，不穩定發生在中樞元素和a[j] 交換的時刻。
(5)歸併排序
歸併排序是把序列遞歸地分成短序列，遞歸出口是短序列只有1個元素(認爲直接有序)或者2個序列(1次比較和交換),然後把各個有序的段序列合併成一個有 序的長序列，不斷合併直到原序列全部排好序。可以發現，在1個或2個元素時，1個元素不會交換，2個元素如果大小相等也沒有人故意交換，這不會破壞穩定 性。那麼，在短的有序序列合併的過程中，穩定是否受到破壞？沒有，合併過程中我們可以保證如果兩個當前元素相等時，我們把處在前面的序列的元素保存在結 果序列的前面，這樣就保證了穩定性。所以，歸併排序也是穩定的排序算法。
(6)基數排序
基數排序是按照低位先排序，然後收集；再按照高位排序，然後再收集；依次類推，直到最高位。有時候有些屬性是有優先級順序的，先按低優先級排序，再按高優 先級排序，最後的次序就是高優先級高的在前，高優先級相同的低優先級高的在前。基數排序基於分別排序，分別收集，所以其是穩定的排序算法。
(7)希爾排序(shell)
希爾排序是按照不同步長對元素進行插入排序，當剛開始元素很無序的時候，步長最大，所以插入排序的元素個數很少，速度很快；當元素基本有序了，步長很小， 插入排序對於有序的序列效率很高。所以，希爾排序的時間複雜度會比o(n^2)好一些。由於多次插入排序，我們知道一次插入排序是穩定的，不會改變相同元 素的相對順序，但在不同的插入排序過程中，相同的元素可能在各自的插入排序中移動，最後其穩定性就會被打亂，所以shell排序是不穩定的。
(8)堆排序
我們知道堆的結構是節點i的孩子爲2*i和2*i+1節點，大頂堆要求父節點大於等於其2個子節點，小頂堆要求父節點小於等於其2個子節點。在一個長爲n 的序列，堆排序的過程是從第n/2開始和其子節點共3個值選擇最大(大頂堆)或者最小(小頂堆),這3個元素之間的選擇當然不會破壞穩定性。但當爲n /2-1, n/2-2, …1這些個父節點選擇元素時，就會破壞穩定性。有可能第n/2個父節點交換把後面一個元素交換過去了，而第n/2-1個父節點把後面一個相同的元素沒 有交換，那麼這2個相同的元素之間的穩定性就被破壞了。所以，堆排序不是穩定的排序算法。

穩定性的意義

不需要用到穩定性： 果只是簡單的進行數字的排序，那麼穩定性將毫無意義，如果排序的內容僅僅是一個複雜對象的某一個數字屬性，那麼穩定性依舊將毫無意義，如果要排序的內容是一個複雜對象的多個數字屬性，但是其原本的初始順序毫無意義，那麼穩定性依舊將毫無意義。

需要用到穩定性： 排序的內容是一個複雜對象的多個數字屬性，且其原本的初始順序存在意義，那麼我們需要在二次排序的基礎上保持原有排序的意義，才需要使用到穩定性的算法，例如要排序的內容是一組原本按照價格高低排序的貨物，如今需要按照銷量高低排序，使用穩定性算法，可以使得想同銷量的貨物依舊保持着價格高低的排序，只有銷量不同的纔會重新排序，因此如果需求不需要保持初始的排序意義，那麼使用穩定性算法和不穩定算法是一樣的。