粒子在磁鏡場中的運動

磁鏡場的特徵是磁場強度在沿着磁力線的方向有變化。這種空間變化會導致粒子的導向中心平行於磁場方向的運動被反射，因而叫做磁鏡場。考慮一個軸對稱的磁場，在柱座標系下，$\rho$爲到對稱軸的距離，$\phi$爲繞對稱軸的角度，$z$在對稱軸上的位置。如果磁場強度沿着磁力線增加，那麼根據Maxwell散度方程$\bm{\nabla \cdot B}=0$可以知道，沿着對稱軸，磁力線必定會聚集。從Maxwell散度方程可以導出聚集速率
$\bm{\nabla \cdot B}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho B_\rho)+\frac{\partial B_z}{\partial z}=0$

將方程對 $\rho$ 積分，並設$\frac{\partial B_z}{\partial z}$與$\rho$無關
$\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho B_\rho)=-\rho \frac{\partial B_z}{\partial z} \\ \rho B_\rho＝-\frac{1}{2}(\frac{\partial B_z}{\partial z} )\rho^2 \\ B_\rho＝-\frac{1}{2}(\frac{\partial B_z}{\partial z} )\rho$

或者
$B_x＝-\frac{1}{2}(\frac{\partial B_z}{\partial z} )x \\ B_y＝-\frac{1}{2}(\frac{\partial B_z}{\partial z} )y$

若$\frac{\partial B_z}{\partial z}$爲正值，則沿着$+z$方向，磁力線聚集，磁場強度增加。這個方程只有在對稱軸附近在成立，因爲積分時假設了$\frac{\partial B_z}{\partial z}$與$\rho$無關。

1、平行運動

平行方向的運動方程爲
$F_z=\frac{dv_z}{dt}=q(v_xB_y-v_yB_x)$

將上述的$B_x$與$B_y$代入，得
$F_z=-\frac{q}{2} (\frac{\partial B_z}{\partial z}) (v_xy-v_yx)$

若磁場變化足夠緩慢，則橫向運動可以看成是圓周運動，有
$x=\rho_c\sin(\omega_ct) \\ y=\frac{q}{|q|} \rho_c\cos(\omega_ct) \\$

對$t$求導，得到速度
$v_x=\omega_c\rho_c\cos(\omega_ct) \\ v_y=-\frac{q}{|q|} \omega_c \rho_c\sin(\omega_ct) \\$

從而$z$方向的受力爲
$F_z=- \frac{\partial B_z}{\partial z} (\frac{|q|}{2}\omega_c\rho_c^2)$

將括號中的項$\frac{|q|}{2}\omega_c\rho_c^2$爲磁矩
$\mu=\frac{w_\bot}{B}＝\frac{\frac{1}{2}mv_\bot^2}{B}$

所以
$F_z=-\mu \frac{\partial B_z}{\partial z}$

將上述方程寫成矢量形式，磁矩的方向與磁場反向（磁矩方向與粒子迴旋運動方向成右手螺旋關係），可以得到平行於磁場方向的受力爲
$\bm{F}=(\bm{\mu \cdot \nabla})\bm{B}$

因此，粒子在非均勻磁場中運動時，平行磁場方向的受力可以看成是磁場與粒子迴旋運動產生的磁矩之間的相互作用，其作用效果是使粒子從強磁場區域反射回去。這個力本質上是Lorentz力在對稱軸上的分量

2、垂直運動

上面考慮了平行運動，在垂直方向上Lorentz力也有分量
$F_\phi=qv_zB_\rho$

這個力產生了一個力矩，引起粒子垂直方向動能的變化。其變化率
$\frac{dw_\bot}{dt}=v_\phi F_\phi=qv_\phi v_z B_\rho$

將開始時的$B_\rho$代入，並且$v_\phi = －(q/|q|)v_\bot$ （極座標系下沿逆時針方向旋轉爲正），上述方程化爲
$\frac{dw_\bot}{dt} = \frac{1}{2}|q|v_\bot v_z (\frac{\partial B_z}{\partial z} ) \rho$

雖然粒子的垂直方向與平行方向的動能都會變化，但是粒子的總動能是不變的（Lorentz力與粒子速度方向垂直）。將上面的$\rho$用粒子的迴旋半徑$\rho=mv_\bot/|q|B$替換，得到
$\frac{dw_\bot}{dt} = \frac{w_\bot v_z}{B} (\frac{\partial B_z}{\partial z})$

考慮磁矩的變化
$\frac{d\mu}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{w_\bot}{B}) = \frac{1}{B}\frac{dw_\bot}{dt} - \frac{w_\bot}{B^2} \frac{dB}{dt}$

這裏磁場不隨時間變化，僅沿$z$方向有變化，且磁場主要沿$z$方向，將磁場的全微分拆開
$\frac{dB}{dt} = \frac{\partial B}{\partial t} + v_z \frac{\partial B}{\partial t} = v_z \frac{\partial B_z}{\partial t}$

得到
$\frac{d\mu}{dt} = \frac{1}{B}\frac{dw_\bot}{dt} - \frac{w_\bot v_z}{B^2}(\frac{\partial B_z}{\partial t})$

替換垂直動能變化率，可得
$\frac{d\mu}{dt}= \frac{w_\bot v_z}{B^2}(\frac{\partial B_z}{\partial t}) - \frac{w_\bot v_z}{B^2}(\frac{\partial B_z}{\partial t}) = 0$

即磁矩不隨時間，磁矩守恆（第一絕熱不變量）。

3、反轉點

考慮粒子平行方向的運動方程
$m \frac{dv_\parallel}{dt} = -\mu \frac{\partial B}{\partial z}$

將$v_\parallel$對時間的導數變換爲對位置的導數
$\frac{dv_\parallel}{dt} = \frac{dv_\parallel}{dz} \frac{dz}{dt} = v_\parallel \frac{dv_\parallel}{dz}$

方程化爲
$\frac{d}{dz} ( \frac{1}{2}mv_\parallel^2 + \mu B ) = 0$

這意味着
$\frac{1}{2}mv_\parallel^2 + \mu B(z) = \mu B_m$

其中 $\mu$ 和 $B_m$ 是常量。該方程可以看成是在一維勢井中運動的粒子的平行動能轉化方程。在$z_1$、$z_2$處，粒子的平行動能爲零。
此時$B(z_1)=B(z_2)=B_m$，$\mu B_m$爲粒子的總動能
$w = \mu B_m$
從該方程可以解出粒子的平行速度
$v_\parallel = \pm \sqrt{\frac{2\mu}{m}(B_m - B)}$

設粒子速度與磁場的夾角爲 $\alpha$（投擲角），則
$v_\bot = v \sin \alpha \\$

從而得到磁矩
$\mu = \frac{w_\bot}{B} = \frac{w \sin ^2 \alpha}{B}$

由於
$w=\mu B_m \\ w_\bot = \mu B$

可以得到
$\sin ^2 \alpha =\frac{B}{B_m}$

對於給定磁矩和給定能量的粒子，可以通過這個方程來計算沿着磁力線上任意一點的投擲角。

對於一個典型的磁鏡（中間磁場弱，兩端磁場強），設最強的磁場爲$B_{max}$， 最弱的磁場爲$B_{min}$，要使粒子發生反射的最小投擲角爲$\alpha_0$，則有
$\sin^2 \alpha_0 = \frac{B_{min}}{B_{max}}$

若粒子的投擲角小於$\alpha_0$，則磁鏡無法束縛住該粒子。將繞着磁力線立體角成$\alpha_0$的錐體稱爲損失錐，投擲角在損失錐內的粒子將逃逸出磁鏡。