高斯定理與電場的散度

在這之前，我們先了解一下通量的概念。考慮一根自來水管，水管內的水向右流動，如下圖所示。

在水管中取一個截面$dS$，那麼在單位時間內，通過這個截面的水是一定的，即通過這個截面的水的量。那麼這個量又是什麼呢？

通量通常是針對矢量而言的。在這裏，取水流速度的大小$v$與截面的面積$dS$的乘積$vdS$，得到速度通量，再乘上通過該截面的水的質量$m$，得到動量通量$mvdS$。

上面這種情況是水流與截面垂直的情況，當水流與截面不垂直的時候，如下圖所示，還能這樣計算通量嗎？

我們先給這個截面增加一個方向，這個方向爲截面的法向（即與截面垂直），並且只能與水流的方向平行或者成一個銳角。隨後將黃色箭頭所代表的矢量，例如動量$\vec{p}$，分解，一部分平行於$d\vec{S}$，另一部分垂直於$d\vec{S}$。像這樣只有平行於$d\vec{S}$的矢量才能通過這個面，設這個矢量與$d\vec{S}$的夾角爲$\theta$，則通量爲
$p\cos\theta dS = \vec{p}\cdot d\vec{S} \tag{1}$
即一個矢量在某個面元上的通量，只需將這個矢量與面元所構成的矢量做內積即可。

現在考慮電場$\vec{E}$的通量。假設有一個靜電荷$Q$，它被一個閉合曲面$S$包圍，如下圖所示。

在曲面上取一個有向面元$d\vec{S}$，以法線向外爲正方向。則電荷$Q$在面元$d\vec{S}$處產生的電場的通量爲
$\vec{E}\cdot d\vec{S}=E \cos\theta dS=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\cos\theta dS \tag{2}$

其中$\theta$爲$\vec{r}$與$d\vec{S}$的夾角（即$d\vec{S}$與電荷$Q$在該面元處的夾角）。

現在我們來看$\cos\theta dS$的含義。以$Q$爲球心，$r$爲半徑，作一個球面。那麼$\theta$就是面元$d\vec{S}$與該處球面法向的夾角，所以$\cos\theta dS$就是面元$dS$投影到球面上的面積。那麼$\cos\theta dS/r^2$就是面元$d\vec{S}$對電荷$Q$所張開的立體角元$d\Omega$。

那麼什麼是立體角呢？先回憶一下弧度的定義。在一個扇形中，這個扇形的弧長除以扇形的半徑，就是這個扇形的圓心角所對應的弧度。立體角與弧度類似，只不過弧度是由圓來定義，而立體角是由球來定義。取一個球面，用這個球面的面積除以這個球的半徑的平方，得到的就是這個球面對應的立體角。立體角與弧度一樣，它與球的具體半徑無關，只表示三維空間中角度的大小。在平面幾何中，根據弧度的定義，一個圓周的弧度，可以用圓的周長比上圓的半徑，其結果爲$2\pi$。同理，一個球所對應的立體角，可以用球的面積除以球的半徑的平方，其結果爲$4\pi$。即封閉曲面對封閉曲面內任意一點，所張的立體角都是$4\pi$

$\oint d\Omega = 4\pi$

由於式(2)計算的是面元處的電場通量，要計算整個閉合曲面的通量，還需要對整個閉合曲面$S$進行積分：
$\oint_S \vec{E}\cdot d\vec{S} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \oint d\Omega = \frac{Q}{\varepsilon_0} \tag{3}$

式(3)即爲電場通量的高斯定理
$\oint_S \vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q}{\varepsilon_0} \tag{4}$

即閉合曲面的電場通量只與閉合曲面內的電荷有關，與閉合曲面外的電荷無關。這是因爲閉合曲面外的電荷產生的電場，從閉合曲面的一個位置進入，必定會從閉合曲面的另外一個位置出來，對閉合曲面的電場通量沒有貢獻。

在方程(4)左右兩邊同時除以該閉合曲面所圍的體積$\Delta V$，隨後讓這個體積無限縮小，即$\Delta V \rightarrow 0$，最後可以得到電通量強度與電荷密度之間的關係
$\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \tag{5}$

高斯定理揭示了電荷密度分佈與產生的電場之間的關係。由於數學上的相似性，高斯定理也可以應用於其它由平方反比律決定的物理量，例如引力或者輻照度。

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