靜磁問題

靜磁方程

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪∇⋅B=0∇×H=jB=μ0(H+M)H=H(B) or M=M(H)

磁標勢

在∇×H=0 的單通區域，可以引入磁標勢φm ，滿足H=−∇φm 。

普通線性介質

B=μH

根據

∇⋅B=0

得

∇2φm=−∇⋅H=0

即φm 滿足Laplace方程.

當區域內存在多種介質時，在邊界處有

aφm1=φm2μ1∂φm1∂n=μ2∂φm2∂n

鐵磁質

鐵磁質中M 對H 的依賴關係很複雜

另一方面，由於沒有傳導電流，標勢在全空間都有意義。

根據

∇⋅B=0B=μ0(H+M)

得

∇2φm=−∇⋅H=∇⋅M

引入磁荷密度ρm

ρm=−μ0∇⋅M

得

∇2φm=−ρmμ0

所以有

φm(x)=−14π∫∇′⋅M|x−x′|3d3x′

表面電荷密度Σm 爲

Σm=μ0M⋅n

所以有

φm(x)=−14π∫∇′⋅M(x′)|x−x′|3d3x′+14π∮n⋅M(x′)|x−x′|3d3x′

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引入面磁流密度jm

∇×H=∇×(B0μ0−M)=1μ0∇×(∇×A)−∇×M=0∇⋅A=0⇒∇2A=−μ0jm,jm=∇×MA(x)=μ04π∫∇′×M(x′)|x−x′|3d3x′