運動電荷的電磁場(一)

經典電動力學的一個重要推論：只要電荷有加速度，就會產生輻射。下面進行相關的推導。

李納-維謝爾勢

設電荷的運動

r′=re(t′)

電磁標勢

φ=14πε0∭ρ(r′,t′)|r−r′|dτ′

其中t′=t−|r−r′|c, 即 c(t−t′)=|r−r′|

把運動點電荷看作是分佈密度爲δ 函數的源

ρ(r′,t′)=eδ(r′−re(t′))

代入上式，得到

φ=14πε0∭eδ(r′−re(t−|r−r′|c)))|r−r′|dτ′

作一個代換

r′′=r′−re(t′)

得

Jdτ′=dτ′′J=∥∥∥∂x′′i∂x′i∥∥∥=∥∇′r′′∥

∇′r′′=∇′r′−∇′re(t′)=I⃗ −v′e∇′t′（\?順序)=I⃗ −v′e∇′(t−|r−r′|c)

∇′ 是t 不變條件下的偏微分，所以∇′t=0 ，再設R′=r−r′ ，得

∇′r′′=I⃗ −v′e∇′(t−|r−r′|c)=I⃗ −v′ec∇′R′=I⃗ −v′ecR′R′

所以

J=∥∇′r′′∥=1−v′⋅R′R′c

所以推遲勢用r′′ 作爲變量得到

φ=14πε0∭eδ(r′′)R′(1−v′⋅R′cR′)dτ′′=14πε0eR′(1−v′⋅R′cR′)

這就是點電荷在t′ 時刻r′ 處產生的標勢，只取決於t′ 時刻的量。

對矢勢可以作同樣處理，得到

A=μ04πev′R′(1−v′⋅R′cR′)=1c2φv′

這一組電磁勢稱爲李納-維謝爾勢(Lienard-Wiechert Potential )，特點是

• 所有和源有關的項只和t′ 時刻的物理量有關，這正是推遲效應的體現。
• 分子多了一項(1−v′⋅R′cR′) ，等效於源的電量變大v′⋅R>0 或變小v′⋅R<0 ，這是多普勒效應的體現。

運動電荷的標勢和矢勢

φ=14πε0eR′(1−v′⋅R′cR′)A=1c2φv′

設

s′=R′−R′⋅v′cR′=r−r′

將方程改寫爲

φ=14πε0es′A=1c2φv′

電磁場方程

E=−∇φ−∂A∂tB=∇×A

在代入計算之前，先解決微分變量的問題。注意到E 和B 的表達式中，所有關於源的微分計算都是對t 時刻的，而φ 和A 的表達式中所有關於源的物理量都是t′ 時刻的，所以需要做一些處理。

t′,r′,v′ 對r,t 的依賴關係：

t′=t′(r,t)r′=re(t′(r,t))v′=dre(t′)dt′=v′(t′(r,t))

其中t′=t−|r−r′|c ,re(t′) 是已知函數（運動方程），但是t′=t−|r−r′|c 不是顯式，而是一個隱函數。
對形如f(r,t′(r,t)) 的複合函數，對t 求偏微分，有

∂∂t=∂t′∂t∂∂t′

對r 求偏微分，得

∇=∇′+(∇t′)∂∂t′(\?)

其中∇′ 是保持t′ 不變對r 的偏微分。

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在方程t′=t−|r−r′|c 兩邊對t 求偏微分，得

∂t′∂t=1−1c∂R′∂t=1−1c∂t′∂t∂R′∂t′

其中∂R′∂t′ 是保持r 不變對t′ 求偏導，如圖所示

∂R′∂t′=−R′⋅v′R′

所以根據

∂t′∂t=1−1c∂t′∂t∂R′∂t′

得

∂t′∂t=11−R′⋅v′cR′=R′s′

∂R′∂t=∂t′∂t∂R′∂t′=−R′⋅v′s′

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在方程t′=t−|r−r′|c 兩邊保持t 不變，對r 求偏微分，得

∇t′=∇t−∇|r−r′|c=0(保持t不變)−∇R′c=−1c(∇′R′+(∇t′)∂R′∂t′)

其中∇′R′=R′R′,∂R′∂t′=−R′⋅v′R′ ，代入，得

∇t′=−R′cs′∇R′=R′s′

至此，已經得到了∂t′∂t,∂R′∂t,∇t′,∇R′ 幾個量.

運動電荷產生的電磁場

將Lienard-Wiechert勢

φ=14πε0es′A=1c2φv′

代入電場方程

E=−∇φ−∂A∂t

得

E=−e4πε0(∇1s′+1c2∂∂tv′s′)=−e4πε01s′2(−∇s′+1c2(∂v′∂ts′−∂s′∂tv′))

其中∂v′∂t=∂v′∂t′∂t′∂t=∂v′∂t′R′s′=a′R′s′
所以

E=−e4πε01s′2(−∇s′+a′R′c2−1c2∂s′∂tv′)

∇s′=∇′s′+(∇t′)∂s′∂t′=∇′s′+(∇t′)∂s′∂t′

利用前面的結論

∇′s′=R′R′−v′c(\?∇′R′=δij?)∂s′∂t′=(R′R′−v′c)⋅v′−R′⋅a′c

所以

∇s′=（）∂s∂t′=（）

E=e4πε01s′3{(1−v′2c2)(R′−R′cv′)+1c2R′×[(R′−R′cv′)×a′]}

得，

B=1cR′R′×E

這就是運動點電荷的電磁場方程，略複雜。

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本文主要參考俞允強《電動力學簡明教程》