晶格振動模式密度
推導和計算
振動模式密度，或態密度函數：振動模式的數目隨頻率的分佈。
g(ω)=ΔnΔω
利用振動模式密度，可以求其他一些物理量
E=∫ℏω⋅g(ω)dωCr=∫cVω⋅g(ω)dω
計算方法：利用q 狀態空間的態密度和 ω∼q 關係。
q=x1b1+x2b2+x3b3=h1N1b1+h2N2b2+h3N3b3
q 空間一個點佔據的體積爲
V∗=V∗0N ，其中
V∗0=b1⋅(b2×b3) 爲原胞的體積。
q 空間的狀態密度
1V∗=NV∗0=N(2π)3Ω=NΩ(2π)3=V(2π)3
其中
Ω 是一個原胞的空間體積(正格子體積)。
兩個等頻面
ω 和
ω+Δω 之間的模式數
Δn=V(2π)3∮dqdS
因爲
ω∼q 連續，所以
Δω=|∇qω|dq，dq=Δω|∇qω|
所以
Δn=V(2π)3∮Δω|∇qω|dS
所以振動模式密度
g(ω)=ΔnΔω=V(2π)3∮dS|∇qω|
例子
一維單原子鏈振動模式密度
dS=1 ，V(2π)3→L2π
ω=4βm−−−√∣∣sinaq2∣∣=ωm∣∣sinaq2∣∣⇒|∇qω|=aωm2∣∣cosaq2∣∣=a2ω2m−ω2−−−−−−−√
其中
ωm 是最大頻率。還要注意一個模式
ω 有
±q 兩個值,
所以
g(ω)=V(2π)3∮dS|∇qω|=2Lπa1ω2m−ω2−−−−−−−√=2Nπ1ω2m−ω2−−−−−−−√
晶格熱容
CV=(∂E¯∂T)V
其中
E¯ 是固體的平均內能。
固體內能包括晶格振動的能量和電子熱運動的能量，一般溫度下晶格振動是主要部分。
經典理論
經典理論中一個簡諧振動的平均能量是 kBT ，設固體有N 個原子，那麼總的平均能量：
E¯¯¯=3NkBT
熱容
CV=(∂E¯∂T)V=3NkB=3R
稱爲
Dulong-Petit law,與溫度無關。
但是實驗表明，當溫度很低時，熱容會迅速趨於0.
量子理論
採用簡正座標，簡諧振動的能量
Ei=ℏωi(ni+12)
各個振動相互獨立。計算近獨立體系的統計平均能量
E¯¯¯=∫Eie−EikBTdEi∫e−EikBTdEi=∑ni(ni+12)ℏωie−niℏωikBT∑nie−niℏωikBT=12ℏωi+∑ninie−niℏωikBT∑nie−niℏωikBTℏωi=12ℏωi+∑ninie−niℏωiβ∑nie−niℏωiβℏωi=12ℏωi−∂∂βln∑nie−niℏωiβ=12ℏωi−∂∂βln11−e−ℏωiβ=12ℏωi+e−ℏωiβ1−e−ℏωiβℏωi=12ℏωi+1eℏωiβ−1ℏωi=12ℏωi+1eℏωi/kBT−1ℏωi
其中
β=1kbT
CVi=(dE¯¯¯idT)V=kB(ℏωikBT)2eℏωi/kBT(eℏωi/kBT−1)2CV=∑i=13NCVi=∑i=13NdE¯¯¯idT
討論
高溫極限
kBT≫ℏωeℏωi/kBT−1≈ℏωikBTE¯¯¯i=12ℏωi+kBTCVi=kBCV=3NkB=3R
和經典的結果相同。
低溫極限
kBT≪ℏωeℏωi/kBT−1→∞E¯¯¯i=12ℏωiCVi=0CV=0
愛因斯坦模型
根據
CVi=(dE¯¯¯idT)V=kB(ℏωikBT)2eℏωi/kBT(eℏωi/kBT−1)2CV=∑i=13NCVi=∑i=13NdE¯¯¯idT
理論上只要知道了所有的簡正頻率，就可以求出晶格熱容。一般對簡正頻率採取近似。
愛因斯坦模型：
德拜模型
熱膨脹和熱傳導
非簡諧項
熱膨脹
熱傳導
