晶體結構

原創

2020-02-22 23:33

基本概念

晶格：晶體格子的簡稱，晶體中原子排列的具體形式，一種數學抽象。
基元：在一個晶格格點上的原子集合
$晶格 = 布拉伐格子 + 基元$
原胞：晶格的原胞，指一個晶格最小的週期性單元，只有1個格點。
基矢：晶格的基矢，原胞的邊矢量，用α1,α2,α3 表示。
簡單晶格：只有一套等價的原子。
複式晶格：有多套等價的原子。
布拉伐格子：把一組各自不同的基元作爲一個格點形成的空間格子。只有14種。
單胞：又稱晶胞，爲了反應晶格對稱性選取的較大的週期單元。
單胞的基矢：單胞的邊矢量。

常見結構

晶格結構

簡單立方

原胞的基矢
$⎧ ⎩ ⎨ α 1 = a i α 2 = a j α 3 = a k$

面心立方

原胞的基矢
$⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ α 1 = a 2 (i + j) α 2 = a 2 (j + k) α 3 = a 2 (k + i)$

體心立方

原胞的基矢
$⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ α 1 = a 2 (i + j - k) α 2 = a 2 (- i + j + k) α 3 = a 2 (i - j + k)$

化合物結構

NaCl結構

兩套面心立方

CsCl結構

兩套簡單立方

ZnS結構

兩套面心立方

晶向和晶面

晶列：布拉伐格子中的格點所在的直線系
晶向：晶列的方向
晶向指數：[100]
等效晶向：<100>
晶面：布拉伐格子中的格點所在的平面系
密勒指數：3個截距的倒數，化成整數(100)（與[100]垂直）
等效晶面：{100}
面間距：

$d h k l = a h 2 + k 2 + l 2 - - - - - - - - - - \sqrt$
面間距越大，原子的面密度越大，容易解理，稱爲解理面。

晶體的對稱性

晶體的對稱性就是在考察晶體在旋轉和反射等正交變換下的不變性。
對稱操作：使晶體保持不變的正交變換。
對稱素：旋轉軸或旋轉-反演軸
對稱操作羣：全部對稱操作的集合。
對稱素只有10種：1,2,3,4,6;1¯,2¯,3¯,4¯,6¯
點羣：10種對稱素組成的對稱操作羣，一共有32種。

晶體對稱操作的限制

例：兩個二重旋轉軸的夾角只能是特定角度

證明

設2 和2′ 是兩個二重軸，觀察和它們垂直的軸N 上的點。
設繞2 和2′ 旋轉的操作分別爲A 和B ,在經過AB 兩次操作後，N 上的點回到原來位置，所以不發生變化
因此複合操作C=AB 是一個以N 爲軸的旋轉操作。
而2 軸上的點再經過C=AB 操作之後到2′′ 的位置
因爲旋轉操作的限制，有
$2 θ = π 3, π 2, 2 π 3, π$
所以兩個二重軸之間的夾角也是有限制的。

晶體結構分爲7個晶系，14種布拉伐格子，32種點羣。

晶系	特徵	布拉伐格子	點羣
三斜	a1≠a2≠a3 夾角不等	簡單三斜	C1,Ci
單斜	${a 1 \neq a 2 \neq a 3 a 2 ⊥ a 1, a 3$	${簡單單斜底心單斜$	C2,Cs,C2h
正交	${a 1 \neq a 2 \neq a 3 a 2, a 1, a 3 互相垂直$	$⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 簡單正交底心正交體心正交面心正交$	D2,C2v,D2h
三角	${a 1 = a 2 = a 3 α = β = γ < 120 \circ \neq 90 \circ$	三角	C3,C3i,D3,C3v,D3d
四方	${a 1 = a 2 \neq a 3 α = β = γ = 90 \circ$	${簡單四方體心四方$	C4,C4h,D4,C4v,D4h,S4,D2d
六角	$⎧ ⎩ ⎨ a 1 = a 2 \neq a 3 a 3 ⊥ a 1, a 2 γ = 120 \circ$	六角	C6,C6h,D6,C3v,D6h,C3h,D2h
立方	${a 1 = a 2 = a 3 α = β = γ = 90 \circ$	$⎧ ⎩ ⎨ 簡單立方體心立方面心立方$	T,Th,Td,O,Oh

平移對稱操作：平移後與自身重合
平移羣：全部平移對稱操作的集合
空間羣：平移羣+點羣，共230種
簡單空間羣（點空間羣）：73個，1個平移羣+1個點羣
複雜空間羣：比如複式晶格中具有性質相同的原子（金剛石）

倒格子

基本概念和結論

$b i = 2 π \cdot a j \times a k Ω (Ω = a 1 \cdot (a 2 \times a 3) 爲晶格的體積)$
$a i \cdot b j = 2 π δ i j$
(b1,b2,b3 )形成倒格子，Gh1h2h3=h1b1+h2b2+h3b3 爲倒格矢。
正格子和倒格子之間互爲Fourier變換的關係

$V h 1 h 2 h 3 = 1 Ω \int e - i G h 1 h 2 h 3 \cdot x d x$
正格子和倒格子的體積關係
$Ω \cdot Ω * = (2 π) 3$
倒格矢Gh1h2h3 垂直於密勒指數爲h1,h2,h3 的晶面系。
面間距
$d = 2 π | G h 1 h 2 h 3 |$

幾種典型結構的倒格矢

簡單立方的倒格矢仍爲簡單立方

$⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ b 1 = 2 π a i b 2 = 2 π a j b 3 = 2 π a k$
面心立方的倒格矢爲體心立方

$⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ b 1 = π a (- i + j + k) b 2 = π a (i - j + k) b 3 = π a (i + j - k)$
體心立方的倒格矢爲面心立方

$⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ b 1 = π a (j + k) b 2 = π a (i + k) b 3 = π a (i + j)$

Wingner-Seitz原胞

Wingner-Seitz原胞，正格子中，從某一個格點到最近鄰和次近鄰的格點的垂直平分面圍成的多面體，也叫 WS原胞 。
保持晶體一切對稱性。
只包含一個格點，和原胞相同.
簡約布里淵區是倒格子空間中的WS原胞。

Thanks to Prof. Shen

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