Bloch定理

能帶理論中，電子滿足的薛定諤方程爲

[- ℏ 2 2 m \nabla 2 + V (r)] ψ (r) = E ψ (r)

其中

V (r + R n) = V (r)

Bloch定理：方程的解爲

ψ (r + R n) = e i k \cdot R n ψ (r)

即，平移晶格矢量Rn 時，波函數只增加位相因子eik⋅Rn .

證明

在晶體中引入描述平移操作的算符T1,T2,T3, 對任意的函數f(r) 滿足

T α f (r) = f (r + a α), α = 1, 2, 3

其中

aα 是單位基矢。

平移任意晶格矢量Rm=m1a1+m2a2+m3a3 對應的算符爲
T=Tm11Tm22Tm33 .對任意的函數f(r) ,

T α T β f (r) = T α f (r + a β) = f (r + a β + a α) = T β f (r + a α) = T β T α f (r)

所以TαTβ=TβTα ，即平移算符之間相互對易。

對任意的函數f(r) ,

T α H f (r) = [- ℏ 2 2 m \nabla 2 r + a α + V (r + a α)] f (r + a α)

其中

∇2r+aα=∇2r,V(r+Rn)=V(r) ,所以

T α H f (r) = [- ℏ 2 2 m \nabla 2 r + V (r)] f (r + a α) = H T α f (r)

所以

TαH=HTα ，即

Tα,H 對易。所以

Tα 和

H 有相同的本徵函數，即波函數。

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ H ψ = E ψ T 1 ψ = λ 1 ψ T 2 ψ = λ 2 ψ T 3 ψ = λ 3 ψ

下面需要確定三個本徵值。引入週期性邊界條件

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ψ (r) = ψ (r + N 1 a 1) = T N 1 1 ψ (r) ψ (r) = ψ (r + N 2 a 2) = T N 2 2 ψ (r) ψ (r) = ψ (r + N 3 a 3) = T N 3 3 ψ (r)

其中

N1,N2,N3 分別是三個方向上的原胞數目。

將兩組方程聯立，得到

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ λ 1 = e 2 π i l 1 N 1 λ 2 = e 2 π i l 2 N 2 l 1, l 2, l 3 \in N λ 3 = e 2 π i l 3 N 3

引入簡約波矢k=l1N1b1+l2N2b2+l3N3b3,b1,b2,b3 爲倒格基矢，則有

⎧ ⎩ ⎨ λ 1 = e k \cdot a 1 λ 2 = e k \cdot a 2 λ 3 = e k \cdot a 3

所以

ψ (r + R n) = T m 1 1 T m 2 2 T m 3 3 ψ (r) = λ m 1 1 λ m 2 2 λ m 3 3 ψ (r) = e i k \cdot (m 1 a 1 + m 2 a 2 + m 3 a 3) ψ (r) = e i k \cdot R n ψ (r)

Bloch定理得證。

根據Bloch定理，週期勢場中的單電子波函數是平面波和周期函數的乘積

$ψ (r) = e i k \cdot r \cdot U (r)$
其中
$U (r + R n) = U (r)$
即，按照布拉法格子週期性調製的平面波。稱爲Bloch函數。
簡約波矢改變一個倒格矢Gn=N1b1+N2b2+N3b3 ，波函數不變，所以簡約波矢可以限定在一個倒格子原胞之內，即k=l1N1b1+l2N2b2+l3N3b3,

$⎧ ⎩ ⎨ 0 \leq l 1 < N 1 0 \leq l 2 < N 2 0 \leq l 3 < N 3$
或者將k 限定在第一布里淵區。

本文主要參考Mr. Shen的課件