矩母函數

原創

2020-06-28 18:14

矩母函數

概念

矩

什麼叫矩？
給出知乎上的一個回答矩的概念以及wiki上的數學定義。

數學上，一個分佈函數f(x) 的n階矩定義爲

μ n = \int \infty - \infty (x - c) n f (x) d x

物理學上的力矩、轉動慣量、磁矩、角動量、電偶極矩，統計學上的原點矩，都是這個形式。

母函數

冪級數展開中各階係數和一個數列對應相等的函數，稱爲這個數列的母函數，也叫生成函數(generating function)。顯然，任一個函數都是其冪級數展開各項係數組成的數列的母函數。

一個序列{an }的母函數爲[1]

G (a n; x) = \sum n = 0 \infty a n x n

矩母函數

矩母函數，能產生一個隨機變量各階原點矩的母函數。
定義式[2]

$M X (t) = E e t X, t \in R$
一般形式
$M X (t) = \int \infty - \infty e t X d F (x)$
離散隨機變量
$M X (t) = \sum k = 0 \infty e t k p (X = k)$
連續型隨機變量
$M X (t) = \int \infty - \infty e t x f (x) d x$
隨機向量的矩母函數
$M X (t) = E e t \cdot X = E e t T X, t \in R$

性質

$M X (t) \geq 0$
$M X (0) = 1$

proof

$M X (0) = E (1) = 1$
MX(t) 可能不存在。

example Cauchy Distribution
proof

$f (x) = 1 π ( 1 + x 2 )$
$E (x) = \int \infty - \infty x 1 π ( 1 + x 2 ) d x = 1 2 π \int \infty - \infty d ( 1 + x 2 ) ( 1 + x 2 ) = 1 π ln (1 + x 2) | \infty 0 \to \infty$
$M X (0) (n) = m n$

proof
因爲

$e t X = 1 + t X + t 2 X 2 2 ! + t 3 X 3 3 ! + \dots$
所以
$M X (t) = 1 + t E X + t 2 E X 2 2 ! + t 3 E X 3 3 ! + \dots = 1 + t m 1 + t 2 m 2 2 ! + t 3 m 3 3 ! + \dots$
所以
$M X (0) (n) = m n$
對連續型隨機變量，MX(−t) 是f(x) 的Laplace變換。
線性性.X1,X2 獨立時

$M a X 1 + b X 2 = M X 1 (a t) M X 1 (b t)$

proof

$M a X 1 + b X 2 = E e t (a X 1 + b X 2) = E (e t a X 1 \cdot e t b X 2) = E (e t a X 1) E (e t b X 2) = M X 1 (a t) M X 1 (b t)$
若MX(t)=MY(t) 處處成立，則FX(x)=FY(x) 也處處成立，即兩個隨機變量的矩母函數相同，那麼分佈函數也相同。

一些分佈的矩母函數

（圖片來自wikipedia）

特徵函數

概念

特徵函數，能完全刻畫一個隨機變量概率分佈的函數。
定義式[Characteristic function]

$φ X (t) = E e i t X, t \in R$
一般形式
$φ X (t) = \int \infty - \infty e i t X d F (x)$
離散隨機變量
$φ X (t) = \sum k = 0 \infty e i t k p (X = k)$
連續型隨機變量
$φ X (t) = \int \infty - \infty e i t x f (x) d x$
隨機向量的特徵函數
$φ X (t) = E e i t \cdot X = E e i t T X, t \in R$

性質

φX(t) 一定存在，且|φ(t)|≤1

proof

$| φ X (t) | = ∣ ∣ ∣ \int \infty - \infty e i t X d F (x) ∣ ∣ ∣ \leq | e i t X | ∣ ∣ ∣ \int \infty - \infty d F (x) ∣ ∣ ∣ \leq 1 >$
收斂
$φ X (0) = 1$

proof

$φ X (0) = E (1) = 1$

全空間連續。
0 鄰域內非零。
厄米性
$φ X (- t) = φ X (t) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯$
對稱的概率密度分佈對應的特徵函數是實值偶函數。
$f X (x) = f Y (x) \Leftrightarrow φ X (t) = φ Y (t)$
$m n = E X n = (- i) n φ (n) X (0)$

proof
因爲

$e i t X = 1 + i t X + i 2 t 2 X 2 2 ! + i 3 t 3 X 3 3 ! + \dots$
所以
$φ X (t) = 1 + i t E X + i 2 t 2 E X 2 2 ! + i 3 t 3 E X 3 3 ! + \dots = 1 + i t m 1 + i 2 t 2 m 2 2 ! + i 3 t 3 m 3 3 ! + \dots$
所以
$φ X (0) (n) = m n i n$
對連續型隨機變量，φX(−t) 是f(x) 的Fourier變換。
線性性.X1,X2 獨立時

$φ a X 1 + b X 2 = φ X 1 (a t) φ X 1 (b t)$

proof

$φ a X 1 + b X 2 = E e i t (a X 1 + b X 2) = E (e i t a X 1 \cdot e i t b X 2) = E (e i t a X 1) E (e i t b X 2) = φ X 1 (a t) φ X 1 (b t)$
Lévy’s continuity theorem

一些分佈的特徵函數

（圖片來自wikipedia）

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矩母函數

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概念

矩

母函數

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一些分佈的矩母函數

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性質

一些分佈的特徵函數

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