自由電子對電磁波的散射

模型構建

透明介質(\?)
電磁波定向傳播
自由電子
只考慮電力、磁力，忽略其他粒子對自由電子的作用
不計輻射阻尼力(\?)
因爲介質中電子的熱運動速度遠小於光速，B=E/c ，所以磁力可以忽略。

自由電子滿足的動力學方程爲

m r ¨ = e E 0 e i (k \cdot r - ω t)

因爲電子的運動速度遠小於光速，所以

krωt=vc≪1 ，所以忽略

k⋅r 項，方程簡化爲

m r ¨ = e E 0 e - i ω t

方程的通解是

r = - e E 0 m ω 2 e - i ω t + v 0 t + r 0

可以看成是勻速運動和簡諧振盪的疊加，這個簡諧振盪是由強迫振動引起的輻射，它就是散射波。
諧振動的電子相當於一個振盪的偶極子，偶極矩爲

p = p 0 e - i ω t = - e 2 E 0 m ω 2 e - i ω t

按照偶極輻射的輻射功率

d P d Ω = ω 4 μ 0 32 π 2 c p 20 sin 2 θ = ω 4 μ 0 32 π 2 c (e 2 E 0 m ω 2) 2 sin 2 θ = μ 0 e 4 E 2 0 32 π 2 m 2 c sin 2 θ = e 4 E 2 0 32 π 2 ε 0 m 2 c 3 sin 2 θ

其中

θ 是散射方向和

E 的夾角。實際上我們關注的是散射方向（觀測方向）和電磁波傳播方向（入射方向）的夾角。

如圖，散射方向

n （取在

xOz 平面上）和電場

E 方向的夾角爲

θ ，我們將它轉化爲電場和

x 軸的夾角

φ 以及散射方向和

z 軸的夾角

α .

Ecosθ=E⋅n=Exnx=Ecosφsinα
所以

sin 2 θ = 1 - cos 2 φ sin 2 α

所以

d P d Ω = e 4 E 2 0 32 π 2 ε 0 m 2 c 3 sin 2 θ = e 4 E 2 0 32 π 2 ε 0 m 2 c 3 (1 - cos 2 φ sin 2 α)

由於

φ 是隨機的，對

φ 取平均，得到

⟨ sin 2 θ ⟩ = 1 2 π \int 2 π 0 (1 - cos 2 φ sin 2 α) d φ = 1 + cos 2 α 2

所以

⟨ d P d Ω ⟩ = e 4 E 2 0 64 π 2 ε 0 m 2 c 3 (1 + cos 2 α)

在各個方向上強度只相差最多1倍。

總功率

P = e 4 E 2 0 12 π ε 0 m 2 c 3

引入散射截面σ ，

P = σ S

因爲

S = 1 2 ε 0 E 20 c

所以

σ = e 4 6 π ε 2 0 m 2 c 4

這個過程稱爲湯姆孫散射，因而界面也稱爲湯姆孫截面，記爲

σT 。它有兩個特徵

散射波的頻率和入射波相同；
散射波的強度和頻率無關。

束縛電子對電磁波的散射

模型構建

原子或粒子中的束縛電子
束縛電子繞核運動的週期很短，把原子看作原子核周圍有一團電子雲。
核的運動不計
束縛電子，即電子雲在覈附近做往復振動
簡諧力−mω20r ,ω0 是電子迴旋頻率
輻射阻尼力mτr...

動力學方程

m r ¨ + m ω 20 r - m τ r ... = e E 0 e - i ω t

這是強迫振動方程，通解是頻率爲

ω0 的本徵振動和頻率爲

ω 的強迫振動的疊加。本徵振動將被阻尼掉，只考慮強迫振動引起散射。

強迫振動解

r = e E 0 m 1 ( ω 2 0 - ω 2 ) 2 + ω 2 γ 2 - - - - - - - - - - - - - - - \sqrt e - i (ω t + δ)

其中

γ=τω20≪ω0, 相位差

δ 滿足

tan δ = ω γ ω 2 - ω 2 0

振子具有一個振盪的偶極矩

p = e 2 E 0 m e - i δ ( ω 2 0 - ω 2 ) 2 + ω 2 γ 2 - - - - - - - - - - - - - - - \sqrt e - i (ω t + δ)

它引起偶極輻射，產生散射波。

把輻射功率寫成

P = σ S

其中

S 表示入射波的能流密度，

σ 是振子對電磁波的散射截面。

σ = σ T ω 4 ( ω 2 0 - ω 2 ) 2 + ω 2 γ 2

其中

σT 是自由電子的湯姆孫散射截面，與頻率無關。

σ(ω) 的圖像

討論

當低頻，即ω≪ω0 時，有

σ = σ T ω 4 ω 4 0

即散射截面和頻率的四次方成正比，這是瑞利散射公式。

當ω≈ω0 時，在ω=ω0 處散射最強。

介質對電磁波的吸收和色散

模型構建

受電磁波作用時，介質看作由大量振子組成，振子在振盪電場作用下做強迫振動
振子只有一個固有頻率ω0
單位體積內的振子個數N
單位體積內介質的偶極矩
$P = N p = N e 2 m 1 ω 2 0 - ω 2 - i ω γ E$
極化強度P 和E 成正比。設
$P = χ e ε 0 E$
其中χe 是極化係數
$ε = ε 0 (1 + χ e)$
由此得到
$ε = ε 0 + N e 2 m 1 ω 2 0 - ω 2 - i ω γ$
即電介質常數ε 主要取決於振子的固有頻率和振子數密度，而且是複數。這些導致了介質對電磁波的吸收和色散。

電磁波在介質中傳播，方程

\nabla 2 E - 1 c 2 ε ε 0 \partial 2 E \partial t 2 = 0

把解寫成沿

z 方向行進的平面波

E = E 0 e i (k z - ω t) k = 1 c n ω n = ε ε 0 - - - \sqrt (復 數)

由於

n 是複數，所以

k,ω 中至少有1個是複數。對於穩定傳播的波，可以令

ω 是實數，那麼

k 就是複數，設

k=k0+iτ ，

E = E 0 e - τ z e i (k 0 z - ω t)

波幅隨空間有衰減，衰減長度是虛部

τ 的倒數。

設復折射率

n = n 0 + i n 1

則

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ k 0 = 1 c n 0 ω τ = 1 c n 1 ω

由n=n0+in1=εε0−−−√
把ε 的表達式代入，得

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ n 20 - n 21 = 1 + N e 2 m ε 0 ω 2 0 - ω 2 ( ω 2 0 - ω 2 ) 2 + ω 2 γ 2 2 n 0 n 1 = N e 2 m ε 0 ω γ ( ω 2 0 - ω 2 ) 2 + ω 2 γ 2

可以根據上式確定

n0(ω),n1(ω) 。

討論

吸收

電磁波波幅的衰減反映了介質對電磁波的吸收，在導體中，吸收的能量轉化成焦耳熱，在介質中則是輻射掉了。

τ 越大，吸收越強。介質的吸收具有明顯的共振特性。

色散

波的相速度

v = ω k 0 = c n 0

取決於折射率的實部

n0 ，從而取決於頻率

ω .當波包由不同頻率的單色波疊加組成時，不同頻率的波相速度不同，波包發生彌散，即色散。

電磁波在界面的折射也和n0 有關，從而和ω 有關，也會發生散射。

把相速度隨着頻率增加而減小稱爲正常色散，反之稱爲反常色散。通常在固有頻率周圍是正常色散，在波頻吸收區是反常色散。

本文主要參考俞允強《電動力學簡明教程》

介質對電磁波的影響

自由電子對電磁波的散射

模型構建

束縛電子對電磁波的散射

模型構建

討論

介質對電磁波的吸收和色散

模型構建

討論

吸收

色散

熱學性質

靜磁問題

矩母函數

Listening to music

PPT基礎與進階

Mac下配置sublime實現LaTeX

https://yachay.unat.edu.pe/blog/index.php?comment_area=format_blog&comment_component=blog&comment_co

linux以太網驅動總結