運動點電荷的電磁場（二）

勻速運動電荷的電磁場

如果點電荷做勻速運動，即a′=0 ，運動點電荷的電磁場方程

E=e4πε01s′3{(1−v′2c2)(R′−R′cv′)+1c2R′×[(R′−R′cv′)×a′]}

簡化爲

E=e4πε01s′3(1−v2c2)(R′−R′cv)

在上面的運動電荷示意圖中，O’是t′ 時刻電荷的位置，O是t′+Δt 時刻電荷的位置，不妨取爲原點。它們各自發射的電磁波在經過一段時間後在t 時刻到達A點。

Δt=OO′v′=R′c

所以

O′O→=v′R′cv′v′=R′v′c

所以 R′−R′cv=R′−O′O→=r ，即

R′−R′cv=r

所以電場E 的方向和r 同向。且

R′2=r2+R′2v2c2+2R′vrccosθ

解關於R′ 的方程，得

R′=r1−v2c2(vccosθ+1−v2c2sin2θ−−−−−−−−−−√)

s′=R′−R′⋅v′c=rγsinθ2+γ2cos2θ−−−−−−−−−−−−−√

代入場強的公式，得到

E=e4πε0r2rrγ(sinθ2+γ2cos2θ)32

此時

B=1cR′R′×E=1cR′(r+R′cv)×E=1c2v×E(E和r同向)

討論

非相對論近似

當電荷的速度遠小於光速，即γ≈1 時，

E=e4πε0r2rr

退化爲庫侖定律，也就是說，只要粒子運動速度足夠低，運動帶來的效應可以忽略不計，庫侖定律仍然適用。此時

B=1c2v×E=μ04πv×rr3

和畢奧-薩伐爾定律一致。

場強大小的分佈

場強公式

E=e4πε0r2rrγ(sinθ2+γ2cos2θ)32

和庫侖定律只相差一個因子，這種差別體現在場強大小隨θ 的分佈上，在接近速度的方向上(sinθ→0 )場強更小，在垂直於運動方向場強更大。

運動電荷的輻射

當a′≠0 時，它就會額外產生一個場

E=e4πε01s′3{1c2R′×[(R′−R′cv′)×a′]}

從量級上看，當R′→∞ 時，E∼1R′ ，能流密度S∼1r2 ，能量E=∫S⋅dα=const ,顯然這是一個輻射場。

爲了計算輻射功率，考慮在t′ 到t′+Δt 之間輻射出的電磁波在t 時刻的波前，在這段時間輻射出的能量正是兩個波前之間的場能。

在t′ 時刻向任意方向的小立體角dΩ 內輻射的功率爲

dP=ωR′2dΩΔR′Δt

其中ω 是能量密度，ΔR′ 是兩個球面之間的距離，與R 和v 方向的夾角有關。

ΔR′=(c−R′⋅vR′)Δt

所以有

dPdΩ=ωR′2(c−R′⋅vR′)

總的輻射功率爲

P=∮ωR′2(c−R′⋅vR′)dΩ

這個結果和靜止時候的功率

P=∮cωR′2dΩ

只相差一個多普勒因子。

輻射場的能量密度、能流密度形式不變。

ω=12(ε0E2+1μ0B2)=ε0E2S=1μ0E×B=ωcR′R′

非相對論性粒子的輻射

粒子的運動速度很低，即γ≈1 時，輻射場的方程簡化爲

E=e4πε01R′3[1c2R′×(R′×a′)]

B=1cR′R′×E

把R′ 對a′ 的方向角記作θ ，那麼場強大小可以寫成

E=14πε0ea′sinθc2R′2

由ω=ε0E 得

ω=116π2ε0e2a′2sin2θc4R′2

忽略多普勒因子，代入功率的方程，得功率的角分佈

dPdΩ=cωR′2=116π2ε0e2a′2sin2θc3

和sin2θ 成正比分佈。

總功率

P=16πε0e2a′2sin2θc3

功率的大小和加速度的平方成正比，這被稱爲輻射的Larmor公式。

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本文主要參考俞允強《電動力學簡明教程》