電磁波在介質表面的反射和折射

均勻線性介質中的電磁波

波動方程

\nabla 2 E - ε μ \partial 2 E \partial t 2 = 0

特解

E = E 0 e i (k z - ω t) B = B 0 e i (k z - ω t)

性質

相速度，等相面的運動速度
由

$k \cdot r - ω t = c o n s t .$
得
$v = d r 0 d t = ω k$
波速
將特解代入波動方程，得ω 和k 的關係

$k 2 = ε μ ω 2$
代入相速度方程，得
$v = ω k = 1 ε μ - - \sqrt = ε 0 μ 0 ε μ - - - - - \sqrt c$
εε0>1 ，μμ0≈1 ，所以介質中的波速始終小於光速。
B 和E 的關係

$B = k ω E = ε μ - - \sqrt e k \times E = 1 v e k \times E$

介質表面的折射和反射

以z=0 爲界面，上方是介電常數和磁導率分別爲ε,μ 的均勻線性介質，下方的介電常數和磁導率是ε′,μ′ 。
因爲一般的電磁波可以分解成平面波，所以只考慮平面波的情形。
平面斜入射的平面波的方程
$E = E 0 e i (k \cdot r - ω t) B = 1 v e k \times E$
其中k=(kx,0,kz)
折射波的方程
$E' = E' 0 e i (k' \cdot r - ω' t) B' = μ' ε' - - - \sqrt e k' \times E'$
反射波的方程
$E'' = E'' 0 e i (k'' \cdot r - ω'' t) B'' = μ ε - - \sqrt e'' k \times E''$
根據E 在界面切向的連續性，得
$E 0 x e i (k x x - ω t) + E'' 0 x e i (k'' x x + k'' y y - ω'' t) = E' 0 x e i (k' x x + k' y y - ω' t)$
這個式子在任意(x,y,t) 都成立，所以有
$⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ k' x = k'' x = k x k' y = k'' y = 0 ω' = ω'' = ω$
所以說反射和折射不改變入射波的頻率。
反射波的k
根據

$k = μ ε - - \sqrt ω$
入射波和反射波的環境和頻率都相同，所以
$k'' = k$
所以
$k 2 x + k 2 z = k'' 2 x + k'' 2 z$
因爲k′′x=kz ，所以
$| k'' z | = | k z |, k'' z = - k z$
折射波的k
折射波和入射波在不同的介質中，波速不同，波長也不同。

$λ ' λ = k k ' = μ ε μ ' ε ' - - - - \sqrt$
定義折射率 $n = μ ε μ 0 ε 0 - - - - - \sqrt$
則有
$λ ' λ = n n '$
折射定律
由於
$sin i = k x k, sin i' = k ' x k '$
所以
$sin i sin i ' = k ' k = n ' n$
即
$n sin i = n' sin i'$

反射波和折射波的強度

三個波的相因子已經相等，所以還需要確定反射波和折射波的振幅。根據邊界條件
由E∥ 連續，得

n \times (E 0 + E'' 0 - E' 0) = 0

由

D⊥ 連續，得

n \cdot (D 0 + D'' 0 - D' 0) = 0

由

H∥ 連續，得

n \times (H 0 + H'' 0 - E' 0) = 0

由

B⊥ 連續，得

n \cdot (B 0 + B'' 0 - B' 0) = 0

在線性介質中，

n \times (E 0 + E'' 0 - E' 0) = 0 n \cdot (ε E 0 + ε E'' 0 - ε' E' 0) = 0 n \times (1 μ k \times E 0 + 1 μ k'' \times E'' 0 - 1 μ ' k' \times E' 0) = 0 n \cdot (k \times E 0 + k'' \times E'' 0 - k' \times E' 0) = 0

考慮兩種特殊情形

E 垂直於入射面
利用兩個切向連續的方程解得

$E ' 0 E 0 = 2 μ ' n cos i μ ' n cos i + μ n ' cos i ' E '' 0 E 0 = μ ' n cos i - μ n ' cos i ' μ ' n cos i + μ n ' cos i '$
E 平行於入射面
利用兩個法向連續的方程解得

$E ' 0 E 0 = 2 μ ' n cos i μ n ' cos i + μ ' n cos i ' E '' 0 E 0 = μ n ' cos i - μ ' n cos i ' μ n ' cos i + μ ' n cos i '$

一般可以認爲μ=μ′=1 ，所以有垂直入射時

E ' 0 E 0 = 2 n cos i n cos i + n ' cos i ' E '' 0 E 0 = n cos i - n ' cos i ' n cos i + n ' cos i ' = - sin ( i - i ' ) sin ( i + i ' )

平行入射時

E ' 0 E 0 = 2 n cos i n ' cos i + n cos i ' E '' 0 E 0 = n ' cos i - n cos i ' n ' cos i + n cos i ' = tan ( i - i ' ) tan ( i + i ' )

特殊情形

在此基礎上討論幾個特殊情形

半波損失

上述的電場振幅都是複數，但是它們的比值都是實數。如果比值爲負，說明相位發生突變，稱爲半波損失。
可以看出，折射波不會發生半波損失，只有垂直偏振的波(\? )從光疏介質向光密介質中入射時纔會發生半波損失。

平行偏振的反射波的消失

平行偏振的反射波

E '' 0 E 0 = tan ( i - i ' ) tan ( i + i ' )

所以當

i+i′=0 的時候，

E′′0=0 ，這時反射波不存在。這個特殊角稱爲布儒斯特角，記作

iB 。結合折射定律，得

tan i B = n ' n

全反射

當電磁波從光密介質向光疏介質入射時，折射角大於入射角。由於折射角不大於π2 ，所以入射角存在一個臨界值。下面考慮入射角超過這個臨界值的情形。

當入射角大於臨界值時，折射定律仍然成立，不過此時無法定義折射角，折射定律的形式爲

n sin i = n k x k = n' k ' x k ' (因 爲 k x = k' x)

此時

k′x>k′ ，因爲

k′2=k′2x+k′2z ，所以

kz 是純虛數，

kz=iτ ，所以折射波可以表示成

E' = E' 0 e - τ z e i (k x x - ω t)

沿界面傳播，且幅度隨着透射深度衰減。

導電介質中的電磁波

電磁波在導體中會產生電流，產生焦耳熱，導致波的耗散和衰減。

\nabla \cdot E = 0 \nabla \times E = - \partial B \partial t \nabla \cdot B = 0 \nabla \times B = μ 0 j + ε μ \partial E \partial t = μ 0 σ E + ε μ \partial E \partial t

由此得到的波動方程多了一個阻尼項

\nabla 2 E - μ σ \partial E \partial t - ε μ \partial 2 E \partial t 2 = 0

方程的特解仍然可以寫成

E = E 0 e i (k \cdot r - ω t)

代回方程，可以得到

k 和

ω 的關係。

k 2 = k 2 x + k 2 y + k 2 z = ε μ ω 2 + i μ σ ω

相比於介質中的關係，這是一個複數關係，因此

ω 和

k 中至少有一個分量是複數。

擾動電場產生的電磁波

如果t=0 時導體內有一個擾動電場 E0(r) ，將電場用傅里葉變換展開，得

E 0 (r) = \int e i k \cdot r E 0 k (r) d k

其中，每個

E0k(r) 是一個單頻的平面波，

k 爲實數。它們都滿足上面的推導，所以每個分量的

ω 都是複數。設

ω=ω0−iω1 ，那麼

E k = E 0 k e i (k \cdot r - ω t) = E 0 k e - ω 1 t e i (k \cdot r - ω 0 t)

這是一個振幅隨時間衰減的波。

導體中的透射波

若電磁波從導體外面射入導體（假設垂直入射），那麼和上節的結論相同

ω = ω' = ω''

所以

k 是複數。
不妨設透射波的

k=(0,0,kz) ，

kz=kz0+iτ ，那麼電波的方程

E = E 0 e - τ z e i (k z 0 z - ω t)

波幅不隨時間衰減，而隨距離（透射深度）衰減，所以這仍然是一個穩態的波。

kz0 描述透射波的傳播，

τ 描述衰減的深度。

令

k 2 = k 2 x + k 2 y + k 2 z = ε μ ω 2 + i μ σ ω

兩邊的實部和虛部分別相等，得

⎧ ⎩ ⎨ k 2 z 0 - τ 2 = ε μ ω 2 k z 0 τ = 1 2 μ σ ω

上式說明總有kz0>τ ，分兩種情況討論

不良導體

若

τ ≪ k z 0

即衰減很弱，那麼

σ ≪ 2 ε ω

即

σ 很小，這種情況對應着不良導體。此時解得

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ k z 0 = ε μ - - \sqrt ω = μ ε μ 0 ε 0 - - - - - \sqrt k τ = 1 2 μ ε - - \sqrt σ

和不導電介質中基本相同。

良導體

如果τ≈kz0 ，那麼

k 2 z 0 - τ 2 ≪ k z 0 τ

所以

σ ≫ 2 ε ω

即

σ 很大，對應良導體的情形。此時解得

k z 0 = τ = 1 2 μ σ ω - - - - - \sqrt ≫ ε μ - - \sqrt ω = μ ε μ 0 ε 0 - - - - - \sqrt k

波長比在不導電介質中短很多，且振幅衰減很快，穿透深度

1τ 和波長相當。

下面考慮振幅。設入射波是沿x 方向的線偏振波，由E∥ 和H∥ 的連續性，並忽略μ 和μ0 的差別，得到

E 0 + E'' 0 = E' 0 k (E 0 - E'' 0) = k' E' 0

解得

E '' 0 E 0 = k - k ' k + k ' E ' 0 E 0 = 2 k k + k '

對於良導體，

k′=k0(1+i) ,

k0k=12μσω−−−−−√μ0ε0−−−−√ω=σ2ε0ω−−−−−√
所以

k′k=σε0ω−−−−√eiπ4≫1
所以

∣ ∣ ∣ E '' 0 E 0 ∣ ∣ ∣ = 1 ∣ ∣ ∣ E ' 0 E 0 ∣ ∣ ∣ = 2 ε 0 ω σ - - - - \sqrt ≪ 1

這說明入射波幾乎不能進入良導體，幾乎完全被反射了。

理想導體

把σ→∞ 的導體稱爲理想導體，理想導體內沒有電磁場。在導體的邊界條件中

n \cdot E = Σ ε n \times E = 0 n \cdot B = 0 n \times B = μ K

E 和

B 都是指導體外面的電磁場。
所以導體外面的電場垂直於表面；磁場平行於表面；導體能通過調節表面電荷密度和麪電流密度保證內部電磁場爲0.

微波在波導管內的傳播

高頻電磁波的傳播不能直接用導線，否則能量損失嚴重。微波常常用波導管來傳輸。現在討論一個矩形波導管模型。

建模

設一個截面爲矩形的波導管，x,y 方向的長度分別爲a,b ，在波導管中沿z 軸方向傳播的電磁波滿足的方程

\nabla 2 E - 1 c 2 \partial 2 E \partial t 2 = 0

由於理想導體的特性，邊界條件

E y | x = 0, a = 0 E x | y = 0, b = 0 E z | x = 0, a; y = 0, b = 0

求解

方程的特解爲

E = E 0 (x, y) e i (k z z - ω t)

其中

E 0 x = [α x 1 cos (k x x) + α x 2 sin (k x x)] [β x 1 cos (k y y) + β x 2 sin (k y y)] E 0 y = [α y 1 cos (k x x) + α y 2 sin (k x x)] [β y 1 cos (k y y) + β y 2 sin (k y y)] E 0 z = [α z 1 cos (k x x) + α z 2 sin (k x x)] [β z 1 cos (k y y) + β z 2 sin (k y y)]

代入邊界條件，得

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ E 0 x = [A 1 cos (k x x) + A 2 sin (k x x)] sin (k y y) E 0 y = sin (k x x) [B 1 cos (k y y) + B 2 sin (k y y)] E 0 z = C 1 sin (k x x) sin (k y y) k x = m π a k y = n π a k 2 x + k 2 x + k 2 x = ω 2 c 2

A1,A2,,B1,B2,C1 都是待定的復常數。代入橫波性條件

∇⋅E=0 ，得

k x (- A 1 sin k x k + A 2 cos k x x) sin k y y + k y sin k x x (- B 1 sin k y y + B 2 cos k y y) + i k z C 1 sin (k x x) sin (k y y) = 0

對任意的點都成立，可以得

A 2 = 0 B 2 = 0 k x A 1 + k y B 1 - i k z C 1 = 0

所以

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ E 0 x = A 1 cos (k x x) sin (k y y) E 0 y = B 1 sin (k x x) cos (k y y) E 0 z = C 1 sin (k x x) sin (k y y) k x = m π a k y = n π a k 2 x + k 2 y + k 2 z = ω 2 c 2

磁場

磁場B 的形式也是

B = B 0 (x, y) e i (k z z - ω t)

根據

∂B∂t=−∇×E
即
得到

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪B0x=1ω(\?)(B1kz+iC1ky)sin(kxx)cos(kyy)B0y=1ω(A1kz+iC1kx)cos(kxx)sin(kyy)B0z=iω(B1kx−A1ky)cos(kxx)cos(kyy)

可以看出，當給定ω,m,n 之後，kz 也確定了，還需要A1,B1,C1 中四個實參量，就可以得到確定的解。

橫電/磁波型

可以引入兩種基本波型作爲基。滿足

C 1 = 0

的波作爲一種基本波型，滿足

B 1 k z = A 1 k y

的波作爲另一種基本波型。前一種電矢量垂直於傳播方向稱爲橫電型波

TEmn ，後一種磁矢量垂直於傳播方向，稱爲橫磁型波

TMmn 。

頻率和波導管尺寸的關係

由於

k 2 x + k 2 y + k 2 z = (m π a) 2 + (n π b) 2 + k 2 z = ω 2 c 2

的限制，在波導管內要傳播頻率

ω 的波,

m,n 都有上限，具體個數和波導管的尺寸有關。而對一根固定的波導管來說，因爲

m,n 不能同時爲

0 ，所以

ω 有下限，即

ω min = c π l, l = max {a, b}

波長

λ max = 2 π c ω min = 2 l

所以波導管能傳送的最大波長是

2l 。

本篇主要參考俞允強《電動力學簡明教程》

電磁波的傳播

電磁波在介質表面的反射和折射

均勻線性介質中的電磁波

波動方程

特解

性質

介質表面的折射和反射

反射波和折射波的強度

特殊情形

半波損失

平行偏振的反射波的消失

全反射

導電介質中的電磁波

擾動電場產生的電磁波

導體中的透射波

不良導體

良導體

理想導體

微波在波導管內的傳播

建模

求解

磁場

橫電/磁波型

頻率和波導管尺寸的關係

熱學性質

靜磁問題

矩母函數

Listening to music

PPT基礎與進階

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