電極子和磁極子

靜電勢的多極展開

數學公式

場量f(r−r0) 在 r0=0 附近展開的公式：

f（r−r0）=f(r)−r0⋅∇f(r)+12r0r0:∇∇f(r)+⋯

f(r−r0)=1|r−r0| ，保留前三項時，

1|r−r0|=1r+r0⋅rr3+r0r0:(3rr−r2I⃗ )2r5+⋯

或採用

1|x−x′|=1|x|+x′ixi|x|3+xixj(3x′ix′j−|x′|2δij)2|x|5

靜電勢的多極展開

Φ(x)=14πε0∫Vρ(x′)|x−x′|d3x′=14πε0[q|x|+p⋅x|x|3+12Qijxixj|x|5+⋯]

其中

q=∫ρ(x′)d3x′pi=∫ρx′id3x′Qij=∫ρ(3x′ix′j−|x′|2δij)d3x′

分別稱爲單極(monopole)，電偶極矩(EDM, electric dipole moment)，電四極矩
其中因爲 ∑iQii=0,Qij=Qji ，所以電四極矩Qij 實際上只有5 個獨立參量.

靜電勢在球座標系下的多極展開

1x−x′=4π∑l=0∞∑m=−ll12l+1|x′|l|x|l+1Y∗lm(θ′,φ′)⇒Φ(x)=14πε0∑l=0∞∑m=−ll4π2l+1almYlm(θ,φ)|x|l+1

alm=⋯,al−m=(−1)malm

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a11=−38π−−−√(px−ipy)a10=34π−−−√pza1−1=−a11

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a22=112152π−−−√(Q11−2iQ12+Q22)a21=−13158π−−−√(Q13−iQ23)a20=1254π−−−√Q33a2−1=−a21a2−2=a22

定域電荷體系在外電場中的行爲刻畫

W=∫Vρ(x)Φ(x)d3x

Φ(x)=Φ(0)+x⋅∇Φ(0)+12xixj∂2Φ(0)∂xi∂xj+⋯

因爲E=−∇Φ ，所以

Φ(x)=Φ(0)−x⋅E−12xixj∂Ei∂xj+⋯

因爲

∫Vδij∂Ei∂xj=∇⋅E=0

所以可以添上這一項，得到

Φ(x)=Φ(0)−x⋅E−16(3xixj−r2δij)∂Ei∂xj+⋯

進而

W=qΦ(0)−p⋅E(0)−16Qij∂Ei∂xj+⋯

靜磁勢的多極展開

磁矢勢方程的推導

∇⋅B=0⇒B=∇×A

∇×B=μ0j⇒∇(∇⋅A)−∇2A=μ0j

採用庫侖規範 ∇⋅A=0

⇒∇2A=−μ0j

得到和電場的方程類似的形式

磁矢勢的多極展開

A(x′)=u04π∫j(x′)|x−x′|d3x′=u04π∫[j(x′)|x|+j(x′)x⋅x′|x|3+⋯]d3x′

證明：磁單極子等於0

對於任一對函數f(x′),g(x′) 和局域電流j(x′)

∫V∇′⋅(fgj)dτ=∫∂V(fgj)⋅dσ=0

所以

∫d3x′[f(j⋅∇′g)+gj⋅∇′f+fg∇′⋅j]=0

取f=1,g=x′i ，則∇′f=0,∇′g=ei ，且∇′⋅j=0 ，所以有

∫ji(x′)d3x′=0

第二項

A(2)(x)=−μ04πx×m|m|3m=12∫(x′×j(x′))d3x

B(x)=∇×A=μ04π3n(n⋅m)−m|x|3

局域電流體系在外磁場中

磁場

B(x′)=B(0)+x′⋅B(0)+⋯

力

F=∇(m⋅B(0))

U=−m⋅B(0)

相互作用能

W=B(0)⋅m

力矩

N=m×B(0)

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Thanks to Mr. Zhu