閔柯夫斯基空間
用x,y,z,ict 建立一個四維的歐式空間，稱爲閔柯夫斯基空間。這個空間中任一點與原點的距離平方定義爲s2=x2+y2+z2−c2t2 .因爲時間軸上的距離平方是負值，所以這其實是個贗歐式空間。
一個座標取定的閔柯夫斯基空間可以看作一個確定的慣性系，而一個四維矩陣刻畫了閔柯夫斯基時空的轉動，可以看作慣性系之間的變換。光速不變的假設保證了這種變換時正交變換，即保持變換前後的距離不變。任意的四維正交矩陣有6個獨立的參量，可以選取慣性系之間的相對速度v （三個變量）和空間座標架的相對軸向（三個變量）。
考慮x2 和x3 軸保持不變的轉動，這個轉動是x1−x4 平面轉過一個角度θ ，
![轉動]()
這個轉動的矩陣的形式應當是
L=⎡⎣⎢⎢⎢cosθ00−sinθ01000010sinθ00cosθ⎤⎦⎥⎥⎥
一方面，按照方程
dx1dx4=dx1icdt=vic
另一方面，按照幾何圖像
dx1dx4=−tanθ
由此得到
θ 和
v 的關係。從而
cosθ=γ,sinθ=iγvc ，其中
γ=11−v2/c2−−−−−−−−√ .所以
L=⎡⎣⎢⎢⎢⎢γ00−iγv/c01000010iγv/c00γ⎤⎦⎥⎥⎥⎥
這正是洛倫茲變換。
洛倫茲變換下的四維張量
S 和S′ 系之間的變換寫成
x′μ=Lμνxν,μ=1,2,3,4
四維時空中，和慣性系無關的物理量稱爲標量或零階張量，用四個數描述、且滿足上述變換的物理量稱爲四維矢量或一階張量。n 階張量有4n 個分量。
當把物理量用四維張量表示，相應的物理規律有四維張量方程的形式，那麼它在慣性系轉換中獎保持形式不變，稱爲方程在洛倫茲變換下是協變的。
下面將在四維時空中重新考察物理量的形式。
固有時間
閔柯夫斯基空間中，時間t 不再是一個四維變量，而是四維座標矢量的一個分量。但是通過定義新的時間量來度量時間
dτ2=dt2−|r|2c2=−1c2dxμdxμ=−1c2(dr,icdt)⋅(dr,icdt)
這是一個四維標量，物理含義是
S′ 系的固有時間。
速度
四維速度定義爲
Uμ=dxμdτ=(drdτ,icdtdτ)
聯繫動鍾變慢現象，
dt=γdτ ,四維速度和三維速度的關係是
U=dtdτ(v,ic)=γ(v,ic)
四維速度的長度
U2=UμUμ=γ2(v2−c2)=−c2
微商算符
四維微商算符定義爲
∂μ=∂∂xμ=(∇,1ic∂∂t)
簡單驗證
∂ 具有四維矢量的性質，設
φ 是標量場
∂′μφ′=∂φ′∂x′μ=∂φ∂xμ∂xμ∂x′μ=(L−1)νμ∂νφ=Lμν∂νφ
其中用到洛倫茲變換
L−1=LT 的性質。
對標量場
φ ，矢量場
Fμ ，
∂μφ 是矢量，
∂μFμ 是標量，
∂μFν 是二階張量。還可以定義四維標量算符（達朗貝爾算符）
□≡∂μ∂μ=∇2−1c2∂2∂t2
電流
jμ=(j,icρ)
電磁勢
Aμ=(A,iφ/c)
電磁勢波動方程
由
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪∇2φ−1c2∂2φ∂t2=−ρε0∇2A−1c2∂2A∂t2=−μ0j1c2∂φ∂t+∇⋅A=0∂ρ∂t+∇⋅j=0
得
⎧⎩⎨⎪⎪□Aμ=−μ0jμ∂uAμ=0∂ujμ=0
在上述定義下，波動方程在洛倫茲變換下是協變的。
電磁場張量
Fμν==∂μAν−∂νAμ⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜0−BzByicExBz0−BxicEy−ByBx0icEz−icEx−icEy−icEz0⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
反對稱，有六個獨立分量
麥克斯韋方程組
∂νFμν=μ0jμ∂λFμν+∂μFνλ+∂νFλμ=0
前一個方程
μ=4 的情況對應
∇⋅E=ρε0
μ=1,2,3 的情況對應
∇×B−1c2∂E∂t=μ0j
後一個方程
μ,ν,λ 有兩個相等的情況是恆等式，兩兩各不相同的情況對應
∇×E+∂B∂t=0∇⋅B=0
電磁場
電磁場B,E 並沒有對應的四維量，不過可以藉助電磁場張量得到變換關係。根據張量的定義，電磁場張量
F′μν=LμαLνβFαβ
或用矩陣表示爲
F′=LFL−1
由此得到
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪E′x=ExE′y=γ(Ey−vBz)E′z=γ(Ez+vBy)B′x=BxB′y=γ(By+vc2Ez)B′z=γ(Bz−vc2Ey)
或
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪E′=γ(E+v×B)−γ2γ+1vc(vc⋅E)B′=γ(B−v×Ec2)−γ2γ+1vc(vc⋅B)
兩者的組合E2−c2B2,E⋅B 在洛倫茲變換下保持不變。
tr(FμνFμν)=−2(B2−1c2E2)
電磁力(密度)
fμ=(f,icW)
其中
f 是力密度，
W=E⋅j 是電磁力對載流體的功率密度。
四維能量動量張量
(Tμν)=⎛⎝T⃗ icgicS−w⎞⎠
其中
T⃗ 是動量流密度，
S 是能流密度，
g 是動量密度，
w 是能量密度。
電磁動量和能量守恆
由
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪W=−∂w∂t−∇⋅Sf=−∂g∂t−∇⋅T⃗
得
fν=−∂μTμν
可以解釋稱能量動量張量的四維散度等於電磁力密度。
固有體積
dV0=γdxdydz=γdV
這是一個四維標量
力
Fμ=∭γfμdV=γ(F,icP)
其中
P 是功率。
牛頓運動定律
Fμ=ddτ(m0Uμ)
將這個方程分成兩個部分
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪γF=ddτ(γm0v)γP=ddτ(γm0c2)
第一個部分要和牛頓第二定律對應，就要求
m=γm0 。由此第二個部分可以改寫成
γP=ddτ(mc2)
要和經典情況對應，要求
mc2 是能量，記爲
E 。定義動能爲
K=mc2−m0c2=(γ−1)m0c2 （保證靜止時動能爲
0 ），而
m0c2 稱爲靜能。至此，愛因斯坦得到了質能關係。
E=mc2
動量
pμ=m0Uμ=(p,icE)
其中三維動量
p=mv=γm0v ，能量
E=mc2=γm0c2
波矢
kμ=(k,iωc)
協變
一個四維矢量協變，意味着這個矢量或張量服從洛倫茲變換，意味着它的各個分量在兩個慣性系中的變換關係具有和四維座標相同的形式。從這個意義上來說，洛倫茲變換的基本形式僅僅是洛倫茲變換應用到座標上的特殊情況。所以爲了求出某個物理量在兩個慣性系間的關係，只要找到這個物理量所在的協變量，然後利用洛倫茲變換求解。比如，已知S 系中的矢勢和標勢，要計算S′ 系中這兩個量，只需要把矢勢和標勢放在四維矢量Aμ=(A,iφc) 中，用洛倫茲變換即可。
本文主要參考俞允強《電動力學簡明教程》
