電磁波的激發

電磁波的激發 主要研究變化的電磁場對源的依賴關係。

洛侖茲規範

在洛侖茲規範下，電勢和磁矢勢的形式爲

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪∇2φ−1c2∂2φ∂t2=−ρε0∇2A−1c2∂2A∂t2=−μ0j

在洛侖茲規範下，電勢只依賴於電荷分佈，磁矢勢只依賴於電流分佈。

電磁勢的推遲解

由於φ 和A 具有相同的形式，所以只需要考慮一個φ 就可以了。

推導

由線性偏微分方程解的可疊加性，將電荷源分解成點電荷

q=∫Q(t)δ(R)dτ

其中

Q(t)=ρ(r′,t)dτ′,R=r−r′

φ 滿足

∇2φ−1c2∂2φ∂t2=−Q(t)δ(R)ε0

把座標的原點移動到這個源點上，並採用球座標處理，得

1R2∂∂R(R2∂φ∂R)−1c2∂2φ∂t2=−Q(t)δ(R)ε0

令

φ=χR

得

∂2χ∂R2−1c2∂2χ∂t2=−RQ(t)δ(R)ε0

在R≠0 處，這個方程是普通的波動方程，通解的形式爲

χ=f(r−R/c)+g(r+R/c)

其中f 是發散波，g 是會聚波，考慮源的特性，所以只要用f 形式的解。所以

φ=f(r−R/c)R

這個解只在R≠0 處成立，還需要再考慮在R=0 的情況。將上式代入方程

∇2φ−1c2∂2φ∂t2=−Q(t)δ(R)ε0

並在一個半徑爲η 的小球內積分（含δ 函數），得

∫(f∇21R+2∇1R∇f+1R∇2f−1c2R∂2f∂t2)dτ=−∫Q(t)δ(R)ε0dτ

右邊等於

−Q(t)ε0

左邊，由於dτ 具有η3 的量級，所以第三、四項都是η2 ，第二項是η 量級，η 很小時，只有第一項有貢獻，所以左邊等於

R<ηf∇21Rdτ=f∫V∇21Rdτ(\?)=f∫∂V∇1R⋅dσ=−4πf

所以得到

f=Q(t)4πε0

宗量換成t−Rc ，得

φ=14πε0Q(t−R/c)R

這是元電荷產生的標勢。

對元電荷積分，得標勢的解

φ(r,t)=14πε0∫ρ(r′,t−R/c)Rdτ′

矢勢A 的每個分量和標勢具有相同的形式，所以

A(r,t)=μ04π∫j(r′,t−R/c)Rdτ′

討論

1. 這組解說明在r′ 處的源需要經過R/c 時間才能對r 處的電磁勢產生影響，即電磁作用以光速傳播。因爲這段時間的推遲，所以稱爲推遲解。
2. 當源有分佈的時候，源上不同的點作用到場點的推遲不同。換句話說，同一時刻同一點上的場強來自不同時刻的源點的貢獻，這是推遲效應的重要特徵。

諧振盪電流的電磁場

推導

隨時間變化的源和電磁場都可以用傅里葉方法分解成單頻簡諧振動，下面研究單頻諧振源產生的諧振場。

設一個有限區域內一個單頻的諧振電流，

j(r,t)=j0(r)e−iωt

電荷密度

ρ(r,t)=ρ0(r)e−iωt

滿足電荷守恆

iωρ0=∇⋅j0

按照推遲勢的公式，單頻諧振電流產生的矢勢爲

A(r,t)=μ04π∫j(r′,t−R/c)Rdτ′=μ04π∫j0(r′)e−iω(t−R/c)Rdτ′=μ04πe−iωt∫j0(r′)eiωR/cRdτ′

這說明了單頻的諧振源產生單頻的諧振場。

因爲是研究輻射性質，所以考慮遠場的情形，

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪r≫d→r′r≪1r≫λ→kr≫1r≫d2λ→kr′2r≪1

此時對矢勢被積函數做展開

1R=1r+r′⋅err2+⋯

ωRc=kR=kr−k⋅r′−(k⋅r′)2+k2r′22kr+⋯

其中k 是球面波矢，

k=ker

以上兩式均只保留前兩項，再略去一個小項

A(r,t)=μ04πe−iωt∫j0(r′)eiωR/cRdτ′=μ04πe−iωt+ikr∫j0(r′)e−ik⋅r′dτ′=A0(θ,φ)ei(kr−ωt)r

同樣可以得到標勢

ϕ(r,t)=ϕ0(θ,φ)ei(kr−ωt)r

其中

ϕ0(θ,φ)=14πε0∫ρ0(r′)e−ik⋅r′dτ′

討論

1. 等相面是球面；
2. 球面波在經過A0 或ϕ0 調製之後，各向異性；
3. 球面波的波幅與距離r 成反比。

計算電磁場

利用公式

∇×(φA)=f∇×A+(∇f)×A

B=∇×A=∇×(A0(θ,φ)ei(kr−ωt)r)=ei(kr−ωt)r∇×A0+(∇ei(kr−ωt)r)×A0=0+(ikei(kr−ωt)r−ei(kr−ωt)r2)ek×A0

略去1/r2 項，得到

B=∇×A(r)=ik(r)×A(r)=B0(θ,φ)ei(kr−ωt)r

其中B0=ik×A0
由

∇×B=1c2∂E∂t

知E 也具有相同的形式

E=E0(θ,φ)ei(kr−ωt)r

再利用這個B 和E 以及∇×B ，可以得到

E=−c2ωk×B=cB×er

即E,k,B 也構成右手系。

討論

1. 前提條件是電流源的尺度較小，波長較短，研究在遠場處的電磁波。
2. 源在遠處產生的是各向異性的球面波，其波幅與r 成反比。
3. 球面波的傳播方向是徑向，也是E,k,B 構成右手系的橫波。

輻射功率和角分佈

推導

能流密度

S=1μ0E×B

取實部進行計算，

S=1μ0RE×RB

因爲

RE=cRB×er

代入能流密度方程

S=1μ0RE×RB=cμ0(RB×er)×B=cμ0(RB⋅RB)er

能流密度的平均值爲

S¯¯=c2μ0(B⋅B∗)er

這些結論和平面波相同。

用一個很大的r 爲半徑作一個假想的球面，單位時間流過這個球面的能量是

P=∮∂VS⋅dσ=c2μ0∮∂V(B⋅B∗)r2dΩ=c2μ0∮∂V(B0⋅B∗0)dΩ

所以

dPdΩ=c2μ0B0⋅B∗0

討論

1. P 是一個與r 無關的量，表明電磁波攜帶的能量可以傳到無窮遠，這就是電磁輻射現象。由於能量來自源，所以功率稱爲源的輻射功率。
2. dPdΩ 是輻射功率的角分佈，反映了輻射的各向異性。
3. 忽略高次項的原因是在遠場的時候，ο(1/r) 項攜帶的能量杯損耗掉了。這些項只有在源的附近才發揮作用，並且是主要作用，稱它們產生的場爲自有場，一次項產生的場叫做輻射場。

輻射場的展開

電偶極輻射

矢勢的展開

A(r,t)=A0(θ,φ)ei(kr−ωt)r

其中

A0(θ,φ)=μ04π∫j0(r′)e−ik⋅r′dτ′

將推遲因子e−ik⋅r′ 展開，得到

e−ik⋅r′=1−ik⋅r′+⋯

下面將證明，其中第一項對應這電偶極輻射，第二項對應着磁偶極輻射和電四極輻射。

電偶極的定義

對輻射源的電偶極的定義和以前相同，即

p0=∫ρ0(r′)r′dτ′

而且也具有簡諧振盪的形式

p=p0e−iωt

電偶極輻射

矢勢展開式的第一項

A0(θ,φ)(1)=μ04π∫j0(r′)dτ′

根據關於散度的公式

∇′⋅(j0r′)=(∇′⋅j0)r′+(j0⋅∇′)r′

由於輻射源只在局域範圍內，所以對左邊在全空間的積分爲0 ，右邊第二項j0∇′⋅r′=j0 ，第一項根據電荷守恆，有

iωρ0=∇′⋅j0

所以得到

A0(θ,φ)(1)=μ04π∫j0(r′)dτ′=μ04π(−iω)∫ρ0(r′)r′dτ′=−iωμ04πp0

這個矢勢只依賴於輻射源的電偶極矩，所以被稱爲電偶極輻射。

進一步可以利用上一節的結論求出相應的矢勢、磁波、輻射的角分佈和總功率

A(r,t)=−iωμ04πp0ei(kr−ωt)rB(r,t)=ωμ04πk×p0ei(kr−ωt)rdPdΩ=ω4μ032π2cp20sin2θP=ω4μ012πcp20

磁偶極輻射和電四極輻射

第二項的分解

矢勢展開的第二項

A0(θ,φ)=μ04π∫−ik⋅r′j0(r′)dτ′

將並矢r′j0(r′) 分解成對稱和反對稱兩項

r′j0=12(r′j0+j0r′)+12(r′j0−j0r′)

下面將證明，反對稱的一項對應着磁偶極輻射，對稱的一項對應着電四極輻射。

磁偶極輻射

根據公式

k×(r′×j0)=−k⋅(r′j0−j0r′)

以及磁矩m 的定義

m0=12∫r′×j0(r′)dτ′

得

A(2)0α=iμ04πk×m0

所以這一項只和源的磁偶極有關。相應的磁波和功率是

B(2)0α=−μ04πk×(k×m0)|B(2)0α|=−μ0m0k24πsinθdPdΩ=μ0m20ω432π2c3p20sin2θP=μ0ω412πc3m20（用m0代替p0c）

電四極輻射

根據公式

∇′⋅(j0r′r′)=(∇′⋅j0r′)r′+(j0⋅∇′r′)r′+r′j0⋅∇′r′=iωρ0r′r′+j0r′+r′j0

對兩邊積分。由於源的局域性，

∫∇′⋅(j0r′r′)dτ′=0

所以有

∫(r′j0+j0r′)dτ′=−iω∫ρ0r′r′dτ′

電二級矩的定義

D⃗ 0=∫ρ0r′r′dτ′

電四極矩

D⃗ 0=3D0→−I⃗ trD0→

所以

A(2)0β=−μ0ω8πk⋅D⃗ 0=−μ0ck28πer⋅D⃗ 0=−μ0ck224π(er⋅D⃗ 0−ertrD⃗ 0)

其中第二項是一個縱場，旋度恆等於0 ，可以通過規範變換消去，所以有

A(2)0β=−μ0ck224πer⋅D⃗ 0

所以這一項只和源的電四極有關。相應的磁波和功率是

B(2)0β=−iμ0ω324πer×(er⋅D⃗ 0)dPdΩ=μ0ω61152π2c3|er×(er⋅D⃗ 0)|2P=μ0ω61440πc3D⃗ 0:D⃗ 0

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本文參考俞允強《電動力學簡明教程》