波動方程

真空中的Maxwell方程

\nabla \cdot E = 0 \nabla \times E = - \partial B \partial t \nabla \cdot B = 0 \nabla \times B = ε 0 μ 0 \partial E \partial t

∇× (2)，代入(4)，並用到∇×(∇×A)=∇(∇⋅A)−∇2A
得

\nabla 2 E - ε 0 μ 0 \partial 2 E \partial t 2 = 0

對

B 得到同樣的波動方程

\nabla 2 B - ε 0 μ 0 \partial 2 B \partial t 2 = 0

方程的解

方程的特解

E = E 0 e i (k \cdot r - ω t)

解的性質

等相面，同一時刻相位相等的面。
$k \cdot r - ω t = c o n s t .$
波長，同一時刻，相位相差2π 的面之間的距離。
$λ = 2 π k$
週期T ，同一位置，相位改變2π 經過的時間
$T = 2 π ω$
相速度，等相面的運動速度
由

$k \cdot r - ω t = c o n s t .$
得
$v = d r 0 d t = ω k$
真空中的波速
將特解代入波動方程，得ω 和k 的關係

$k 2 = ε 0 μ 0 ω 2$
代入相速度方程，得
$c = ω k = 1 ε 0 μ 0 - - - - \sqrt$
正交性
將特解代入∇⋅E=0 ，得
$k \cdot E 0 = 0$

因爲ω 和k 的關係以及上式，所以完全描述電磁波需要E0,k,ω 共4+2+1=7 個獨立實參量.

磁場的解

根據

\nabla \times E = - \partial B \partial t

得

\partial B \partial t = - \nabla \times E = i k \times E

對兩邊積分，得到

B = k ω E = 1 c e k \times E + B 1 (c o n s t .)

設

B = B 0 e i (k \cdot r - ω t)

則

B 0 = 1 c e k \times E 0

考慮到真實物理量是實部，所以可以重新寫作

R B = 1 c e k \times R E

強度

R B = 1 c R E

偏振的描述

偏振是橫波的振動矢量對於傳播方向不對稱的現象。

將電磁波的傳播方向取爲z 方向，電磁波的方程可以寫作

E = E 0 e i (k z - ω t) B = B 0 e i (k z - ω t)

由於電波和磁波之間存在關係

B 0 = 1 c e k \times E 0

所以只需要討論電波就可以了。

從迎着電磁波傳播方向的方向來看，電矢量的變化可以用xy 平面上的矢端曲線來表示。爲了討論物理的電場強度，把電場的實部表示出來。由於E 是一個復矢量，可以表示成

E 0 = (E 0 x e i α x) e x + (E 0 y e i α y) e y

所以

E = (E 0 x e i (k z - ω t + α x)) e x + (E 0 y e i (k z - ω t + α y)) e y

實部爲

R E 0 x = E 0 x cos (k z - ω t + α x) R E 0 y = E 0 y cos (k z - ω t + α y)

這說明一般的電磁波矢端曲線是一個橢圓，橢圓可以分解成更簡單的形狀。下面介紹兩種分解方式。

線偏振

當αx=αy 或αx=αy+π 的時候，

R E 0 x R E 0 y = \pm E 0 x E 0 y

這時

(x,y) 在一條線段上做簡諧振動。這種情形稱之爲線偏振。一般的橢圓振動可以分解成兩個線偏振的疊加。

定義一組基

ε 1 = e x e i (k z - ω t) ε 2 = e y e i (k z - ω t)

這是在

x 和

y 方向的兩個線偏振。

對任意的E ，存在E1,E2

E 1 = E 0 x e i α x, E 2 = E 0 y e i α y

使得

E = E 1 ε 1 + E 2 ε 2

圓偏振

當αx=αy±π2 且E0x=E0y 的時候，

R E 0 x = E 0 x cos (k z - ω t + α x) R E 0 y = \pm E 0 y sin (k z - ω t + α x)

這時

(x,y) 在一個圓上做簡諧振動。這種情形稱之爲圓偏振。並且當

αy=αx−π2 時，迎着傳播方向，圓順時針旋轉，稱爲右旋波；當

αy=αx+π2 時，迎着傳播方向，圓順時針旋轉，稱爲左旋波。一般的橢圓振動可以分解成兩個左右旋圓偏振的疊加。

定義一組基

ε 1 = e 1 e i (k z - ω t) ε 2 = e 2 e i (k z - ω t)

其中

e 1 = 1 2 \sqrt (e x - i e y) e 2 = 1 2 \sqrt (e x + i e y)

這是右旋和左旋兩個圓偏振。

對任意的E ，存在E左,E右
使得

E = E 左 ε 1 + E 右 ε 2

E左,E右滿足

E 1 = 1 2 \sqrt (E 左 + E 右), E 2 = i 2 \sqrt (E 左 - E 右)

平面電磁波的能量和能流

電磁場的能量密度

w = 1 2 (ε 0 E 2 + 1 μ 0 B 2)

能流密度

S = 1 μ 0 E \times B

能量密度和能流密度都和場量的二次項有關，在涉及二次運算時，爲得到物理上所要的結果，應當先取實部再進行計算。所以

w = 1 2 (ε 0 | R E | 2 + 1 μ 0 | R B | 2) S = 1 μ 0 R E \times R B

因爲

R B = 1 c e k \times R E

代入能量密度方程

| R B | 2 = 1 c 2 | R E | 2 = μ 0 ε 0 | R E | 2

因此電波和磁波對能量密度的貢獻是相等的.

w = ε 0 | R E | 2

代入能流密度方程

S = 1 μ 0 R E \times R B = 1 μ 0 c R E \times (e k \times R E) = 1 μ 0 c (R E \cdot R E) e k

所以有

S = ω c e k

這個式子說明真空中的電磁波的能流密度就是能量密度以光速

c 向波矢

k 方向移動。

對空間中的每一點，

| R E | 2 = E 2 0 x cos 2 (k z - ω t + α x) + E 2 0 y cos 2 (k z - ω t + α y)

是隨時間變化的。實際電磁波的振動週期很短，因此可以用平均值代表實測值。所以能量密度可以表示爲

w = 1 2 E 0 \cdot E * 0

本文參考俞允強《電動力學簡明教程》

電磁波

波動方程

真空中的Maxwell方程

方程的解

方程的特解

解的性質

磁場的解

偏振的描述

線偏振

圓偏振

平面電磁波的能量和能流

熱學性質

靜磁問題

矩母函數

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