單源最短路徑算法--Dijkstra算法和Bellman-Ford算法

Dijkstra算法

算法流程：
(a) 初始化：用起點v到該頂點w的直接邊(弧)初始化最短路徑，否則設爲∞；
(b) 從未求得最短路徑的終點中選擇路徑長度最小的終點u：即求得v到u的最短路徑；
(c) 修改最短路徑：計算u的鄰接點的最短路徑，若(v,…,u)+(u,w)<(v,…,w)，則以(v,…,u,w)代替。
(d) 重複(b)-(c)，直到求得v到其餘所有頂點的最短路徑。
特點：總是按照從小到大的順序求得最短路徑。

假設一共有N個節點，出發結點爲s，需要一個一維數組prev[N]來記錄前一個節點序號，一個一維數組dist[N]來記錄從原點到當前節點最短路徑（初始值爲s到Vi的邊的權值，沒有則爲+∞），一個二維數組weights[N][N]來記錄各點之間邊的權重，按以上流程更新prev[N]和dist[N]。

參考代碼：

#include <iostream>
#include <cstdlib>
using namespace std;

void Dijkstra(int n,int s,int *dist,int *prev,int w[][4])
{
    int maxint = 65535;
    bool *visit = new bool[n];

    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        dist[i] = w[s][i];
        visit[i] = false;
        if (dist[i] != maxint)
        {
            prev[i] = s;
        }
    }

    dist[s] = 0;
    visit[s] = true;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        int temp = maxint;
        int u = s;
        for (int j = 0; j < n; j++)
        {
            if ((!visit[j]) && (dist[j] < temp))
            {
                u = j;
                temp = dist[j];
            }
        }
        visit[u] = true;
        for (int j = 0; j < n; j++)
        {
            if (!visit[j])
            {
                int newdist = dist[u] + w[u][j];
                if (newdist < dist[j])
                {
                    dist[j] = newdist;
                    prev[j] = u;
                }
            }
        }
    }

    delete []visit;
}

int main()
{
    int n,v,u;
    int weight[4][4]={
        0,2,65535,4,
        2,0,3,65535,
        65535,3,0,2,
        4,65535,2,0
        };
    int q = 0;
    int way[4];
    int dist[4];
    int prev[4];
    int s = 1;
    int d = 3;
    Dijkstra(4, s, dist, prev, weight);
    cout<<"The least distance from "<<s<<" to "<<d<<" is "<<dist[d]<<endl;
    int w = d;
    while (w != s)
    {
        way[q++] = prev[w];
        w = prev[w];
    }
    cout<<"The path is ";
    for (int j = q-1; j >= 0; j--)
    {
        cout<<way[j]<<" ->";
    }
    cout<<d<<endl;

    return 0;
}

運行結果：
The least distance from l to 3 is 5.
The path is 1-> 2-> 3

Bellman-Ford算法

Bellman-Ford算法能在更普遍的情況下（存在負權邊）解決單源點最短路徑問題。對於給定的帶權（有向或無向）圖 G=（V,E），其源點爲s，加權函數 w 是邊集 E 的映射。對圖G運行Bellman-Ford算法的結果是一個布爾值，表明圖中是否存在着一個從源點s可達的負權迴路。若不存在這樣的迴路，算法將給出從源點s到圖G的任意頂點v的最短路徑d[v]。

Bellman-Ford算法流程分爲三個階段：

（1）初始化：將除源點外的所有頂點的最短距離估計值 d[v] ←+∞, d[s] ←0;
（2）迭代求解：反覆對邊集E中的每條邊進行鬆弛操作，使得頂點集V中的每個頂點v的最短距離估計值逐步逼近其最短距離；（運行|v|-1次）
（3）檢驗負權迴路：判斷邊集E中的每一條邊的兩個端點是否收斂。如果存在未收斂的頂點，則算法返回false，表明問題無解；否則算法返回true，並且從源點可達的頂點v的最短距離保存在 d[v]中。

算法描述如下：

Bellman-Ford(G,w,s) ：boolean   //圖G ，邊集 函數 w ，s爲源點
1        for each vertex v ∈ V（G） do        //初始化 1階段
2            d[v] ←+∞
3        d[s] ←0;                            //1階段結束
4        for i=1 to |v|-1 do                  //2階段開始，雙重循環。
5           for each edge（u,v） ∈E(G) do    //邊集數組要用到，窮舉每條邊。
6              If d[v]> d[u]+ w(u,v) then     //鬆弛判斷
7                 d[v]=d[u]+w(u,v)            //鬆弛操作   2階段結束
8        for each edge（u,v） ∈E(G) do
9            If d[v]> d[u]+ w(u,v) then
10            Exit false
11    Exit true

適用條件和範圍：
　　1.單源最短路徑(從源點s到其它所有頂點v);
　　2.有向圖&無向圖(無向圖可以看作(u,v),(v,u)同屬於邊集E的有向圖);
　　3.邊權可正可負(如有負權迴路輸出錯誤提示);
　　4.差分約束系統;

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

/* Let INFINITY be an integer value not likely to be
   confused with a real weight, even a negative one. */
   
#define INFINITY ((1 << 14)-1)

typedef struct 
{
    int source;
    int dest;
    int weight;
} Edge;

void BellmanFord(Edge edges[], int edgecount, int nodecount, int source)
{
    int *distance =(int*) malloc(nodecount*sizeof(int));
    int i, j;

    for (i=0; i < nodecount; ++i)
       distance[i] = INFINITY;
    distance[source] = 0;

    for (i=0; i < nodecount; ++i) 
    {
       int nbChanges = 0; 
       for (j=0; j < edgecount; ++j) 
       {
            if (distance[edges[j].source] != INFINITY) 
            {
                int new_distance = distance[edges[j].source] + edges[j].weight;
                if (new_distance < distance[edges[j].dest]) 
                {
                  distance[edges[j].dest] = new_distance;
                  nbChanges++; 
                } 
            }
        }
         // if one iteration had no impact, further iterations will have no impact either
        if (nbChanges == 0) break; 
    }

    for (i=0; i < edgecount; ++i) 
    {
        if (distance[edges[i].dest] > distance[edges[i].source] + edges[i].weight) 
        {
            puts("Negative edge weight cycles detected!");
            free(distance);
            return;
        }
    }

    for (i=0; i < nodecount; ++i) 
    {
        printf("The shortest distance between nodes %d and %d is %d\n", source, i, distance[i]);
    }

    free(distance);
    return;
}

int main(void)
{
    /* This test case should produce the distances 2, 4, 7, -2, and 0. */
    Edge edges[10] = {{0,1, 5}, {0,2, 8}, {0,3, -4}, {1,0, -2},
                      {2,1, -3}, {2,3, 9}, {3,1, 7}, {3,4, 2},
                      {4,0, 6}, {4,2, 7}};
    BellmanFord(edges, 10, 5, 4);
    return 0;
}