數據結構——堆排序

數據結構——堆排序

排序方法很多，各有優勢，我們常用的排序方法是屬於內部排序的，對輔助空間的使用很少，而時間複雜度可能遇到了限制了，我所知道幾種排序方法最快也沒有突破nlogn 這個限制。對於平均時間複雜度來說，快速排序已經是這種算法的佼佼者了，但是它的最壞情況恐怕是不能接受的，n2 ；這裏推薦一種稍微複雜的排序，叫做堆排序，它基於一種數據結構——堆。纔有了很小的時間複雜度，同時又有很穩定的特性。

先介紹一下堆的定義：

​ 一顆二叉樹，任意非葉子節點的左右子節點都同時比它大，或者同時比它小。

表現在數組中是這樣的：

​ 一串n個元素的序列，a1,a2,...,an ，下標由1開始；

{ki≤k2iki≤k2i+1

或{ki≥k2iki≥k2i+1

(i=1,2,...,n/2.)

堆的定義有很明顯的作用，最小的或者最大的數字永遠在堆頂，對嗎？這樣子每次能夠從堆頂拿出一個數字，並且從堆裏面刪去這個數字，再拿，如此往復，組成一個序列不就是一個有序的數組嗎？並且用時是n 。很美好。但是維護一個堆刪除了堆頂的數字依然有序這是需要代價的，你需要調整幾乎一個堆，從上至下。讓數字的位置又滿足堆的定義。

重新調整堆的方法叫做“篩選”，是這樣的：

假設一個標準的堆，拿出了堆頂的元素，要刪除堆頂的元素；

拿出13 ，把97放到堆頂，
97破壞了以1節點下的堆，所以交換1節點和它的子節點，選擇2，3節點中小的那一個交換，那就是27這個3節點，這樣子1節點下的堆就維護好了，但是破壞了3節點下的堆。所以依法炮製，換3節點和它的子節點。直到沒得換了。

接下來再拿出堆頂元素，27.並且維護下堆，如上方法：

還有個問題沒解決的，就是初始的時候建立一個堆。

很簡單的一棵樹由下往上，可以生成堆的節點，也就是有子節點的節點就“篩選”一下就可以形成堆。

這個圖片是借用一下別人的，所以數字不同於上面的了，但是是一個思路，在這隻做演示使用。（畫圖有點累啊）！！

很詳細了。按圖索驥都成了，所以貼代碼了。

#include<cstring>
#include<cstdio>

using namespace std;

void HeapAdjust(int a[],int s,int e)
{
    int length = e-s;
    int rc=a[s];
    for(int i=2*s;i<=e;i*=2)
    {
        if(i<e &&a[i]<a[i+1])
            i++;
        if(a[i]<rc)
            break;
        a[s] = a[i];
        s=i;
    }
    a[s] = rc;
}

void HeapSort(int a[],int length)          //a數組必須由下標1開始儲存
{
    for(int i=length/2;i>0;i--)
    {
        HeapAdjust(a,i,length);
    }
    int t;
    for(int i=length;i>1;i--)
    {
        t=a[i];
        a[i]=a[1];
        a[1]=t;
        HeapAdjust(a,1,i-1);
    }
}
int main()
{
    int a[10]={0,49,38,65,97,76,13,27,49};
    HeapSort(a,8);
    for(int i=1;i<=8;i++)
        printf("%d ",a[i]);
    return 0;
}