母函數入門

 

母函數（Generating function）詳解

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前段時間寫了一篇《揹包之01揹包、完全揹包、多重揹包詳解》，看到支持的人很多，我不是大牛，只是一個和大家一樣學習的人，寫這些文章的目的只是爲了一是希望讓大家學的輕鬆，二是讓自己複習起來更方便。

(以下內容部分引至杭電ACM課件和維基百科)

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在數學中，某個序列的母函數是一種形式冪級數，其每一項的係數可以提供關於這個序列的信息。使用母函數解決問題的方法稱爲母函數方法。

母函數可分爲很多種，包括普通母函數、指數母函數、L級數、貝爾級數和狄利克雷級數。對每個序列都可以寫出以上每個類型的一個母函數。構造母函數的目的一般是爲了解決某個特定的問題，因此選用何種母函數視乎序列本身的特性和問題的類型。

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這裏先給出兩句話，不懂的可以等看完這篇文章再回過頭來看：

“把組合問題的加法法則和冪級數的t的乘冪的相加對應起來”

“母函數的思想很簡單—就是把離散數列和冪級數一一對應起來，把離散數列間的相互結合關係對應成爲冪級數間的運算關係，最後由冪級數形式來確定離散數列的構造. “

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我們首先來看下這個多項式乘法：

由此可以看出:

1. x的係數是a₁,a₂,…a_{n的單個組合的全體。}

2. x²的係數是a₁,a₂,…a₂的兩個組合的全體。

………

n. xⁿ的係數是a₁,a₂,….a_n的n個組合的全體（只有1個）。

由此得到：

母函數的定義：

對於序列a₀，a₁，a₂，…構造一函數：

稱函數G(x)是序列a₀，a₁，a₂，…的母函數

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這裏先給出2個例子，等會再結合題目分析：

第一種：

有1克、2克、3克、4克的砝碼各一 枚，能稱出哪幾種重量？每種重量各有幾種可能方案？

考慮用母函數來接吻這個問題：

我們假設x表示砝碼，x的指數表示砝碼的重量，這樣：

1個1克的砝碼可以用函數1+x表示，

1個2克的砝碼可以用函數1+x²表示，

1個3克的砝碼可以用函數1+x³表示，

1個4克的砝碼可以用函數1+x⁴表示，

上面這四個式子懂嗎？

我們拿1+x²來說，前面已經說過，x表示砝碼，x的指數表示重量，即這裏就是一個質量爲2的砝碼，那麼前面的1表示什麼？1代表重量爲2的砝碼數量爲0個。（理解！）

不知道大家理解沒，我們這裏結合前面那句話：

“把組合問題的加法法則和冪級數的t的乘冪的相加對應起來”

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1+x²表示了兩種情況：1表示質量爲2的砝碼取0個的情況，x²表示質量爲2的砝碼取1個的情況。

這裏說下各項係數的意義：

在x前面的係數a表示相應質量的砝碼取a個，而1就表示相應砝碼取0個，這裏可不能簡單的認爲相應砝碼取0個就該是0*x²(想下爲何？結合數學式子)。

Tanky　Woo 的程序人生：http://www.wutianqi.com/

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所以，前面說的那句話的意義大家可以理解了吧？

幾種砝碼的組合可以稱重的情況，可以用以上幾個函數的乘積表示：

(1+x)(1+x²)(1+x³)(1+x⁴)

=(1+x+x²+x³)(1+x³+x⁴+x⁷)

=1+x+x²+2x³+2x⁴+2x⁵+2x⁶+2x⁷+x⁸+x⁹+x¹⁰

從上面的函數知道：可稱出從1克到10克，係數便是方案數。（！！！經典！！！）

例如右端有2x⁵ 項，即稱出5克的方案有2：5=3+2=4+1；同樣，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。

故稱出6克的方案有2，稱出10克的方案有1 。

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接着上面，接下來是第二種情況：

求用1分、2分、3分的郵票貼出不同數值的方案數：

大家把這種情況和第一種比較有何區別？第一種每種是一個，而這裏每種是無限的。

以展開後的x⁴爲例，其係數爲4，即4拆分成1、2、3之和的拆分數爲4；

即 ：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2

這裏再引出兩個概念整數拆分和拆分數：

所謂整數拆分即把整數分解成若干整數的和（相當於把n個無區別的球放到n個無標誌的盒子，盒子允許空，也允許放多於一個球）。

整數拆分成若干整數的和，辦法不一，不同拆分法的總數叫做拆分數。

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現在以上面的第二種情況每種種類個數無限爲例，給出模板：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38

#include <iostream> using namespace std; // Author: Tanky Woo // www.wutianqi.com const int _max = 10001; // c1是保存各項質量砝碼可以組合的數目 // c2是中間量，保存沒一次的情況 int c1[_max], c2[_max]; int main() { //int n,i,j,k; int nNum; // int i, j, k;   while(cin >> nNum) { for(i=0; i<=nNum; ++i) // ---- ① { c1[i] = 1; c2[i] = 0; } for(i=2; i<=nNum; ++i) // ----- ② {   for(j=0; j<=nNum; ++j) // ----- ③ for(k=0; k+j<=nNum; k+=i) // ---- ④ { c2[j+k] += c1[j]; } for(j=0; j<=nNum; ++j) // ---- ⑤ { c1[j] = c2[j]; c2[j] = 0; } } cout << c1[n] << endl; } return 0; }

我們來解釋下上面標誌的各個地方：

①  、首先對c1初始化，由第一個表達式(1+x+x²+..xⁿ)初始化，把質量從0到n的所有砝碼都初始化爲1.

②  、 i從2到n遍歷，這裏i就是指第i個表達式，上面給出的第二種母函數關係式裏，每一個括號括起來的就是一個表達式。

③、j 從0到n遍歷，這裏j就是隻一個表達式裏第j個變量，比如在第二個表達式裏：(1+x²+x⁴….)裏，第j個就是x^2*j.

③  k表示的是第j個指數，所以k每次增i（因爲第i個表達式的增量是i）。

④  、把c2的值賦給c1,而把c2初始化爲0，因爲c2每次是從一個表達式中開始的