【持续更新】莫比乌斯反演简明教程

前言

开始学省选算法了……

感觉莫比乌斯反演好厉害的样子，就先学习一下

一入反演深似海……

相关的东西太多了，以后会不定期更新

前置技能

莫比乌斯函数

莫比乌斯函数μ(n) 的定义如下：

设n=pk11⋅pk22…pkmm

μ(n)=⎧⎩⎨1(−1)m0n=1∏mi=1ki=1otherwise(ki>1)

显然，μ(n) 是积性函数：μ(x)μ(y)=μ(xy),x⊥y

那么我们就可以使用线性筛来得到μ(n) ：

void prepare(){
    mu[1]=1;
    for (int i=2;i<=N;i++){
        if (!vis[i]) p[++p[0]]=i,mu[i]=-1;
        for (int j=1;j<=p[0]&&i*p[j]<=N;j++){
            vis[i*p[j]]=1;
            if (i%p[j]==0) {mu[i*p[j]]=0;break;}
             else mu[i*p[j]]=-mu[i];
        }
    }
}

狄利克雷卷积

定义：对于数论函数f(n) 和g(n) ，定义卷积运算∗ 为：

(f∗g)(n)=∑d|nf(d)⋅g(nd)

狄利克雷卷积的单位元为e(x)=[x=1]

任何数论函数f 满足f∗e=f

定义函数I(x)=1 ，id(x)=x

则有：I∗μ=e

这说明μ 是I 的逆元

又有：φ∗I=id

那么可以得到φ=id∗μ

莫比乌斯反演

对于f(n),g(n) 满足：

f(n)=∑d|ng(d)

则有莫比乌斯反演：

g(n)=∑d|nf(d)μ(nd)

其实非常显然，把命题换成狄利克雷卷积的形式就是：

已知f=g∗I ，求证g=f∗μ

根据I∗μ=e 直接证明了

应用

求gcd=k的个数

问题：求

∑i=1n∑j=1m[gcd(i,j)=k]

这是莫比乌斯反演的入门题，非常经典

推导：

∑i=1n∑j=1m[gcd(i,j)=k]⇒∑i=1⌊nk⌋∑j=1⌊mk⌋[gcd(i,j)=1]

然后套用莫比乌斯反演：

⇒∑i=1⌊nk⌋∑j=1⌊mk⌋∑d|(i,j)μ(d)⇒∑dμ(d)∑d|i∑d|j1⇒∑dμ(d)⌊nkd⌋⌊mkd⌋

然后就可以对⌊nkd⌋⌊mkd⌋ 分块求和了

然后就可以在O(n√) 时间里解决每次询问（O(n) 预处理）

例题

YY的GCD

BZOJ2820

先考虑枚举质数p，答案就是：

∑p∑dμ(d)⌊npd⌋⌊mpd⌋

设T=pd ，考虑枚举T ，则有：

∑Tmin{n,m}⌊nT⌋⌊mT⌋∑p|Tμ(Tp)

如果能够预处理∑p|Tμ(Tp) 关于T 的前缀和，前面的柿子就可以O(n√) 求解

其实可以暴枚p

因为均摊每个质数是ln(n) 的，而质数的个数是nln(n) 个

所以预处理可以O(n)