BZOJ4816 數字表格-莫比烏斯反演

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題意：

定義f[0]=0,f[1]=1,f[n]=f[n−1]+f[n−2],n≥2$f[0]=0,f[1]=1,f[n]=f[n-1]+f[n-2],n\ge 2$

給出n,m，求Πni=1Πmj=1f[gcd(i,j)]%1e9+7${\mathrm{\Pi }}_{i=1}^n{\mathrm{\Pi }}_{j=1}^{m}f[gcd(i,j)]\mathrm{\%}1e9+7$

多組數據，n,m<=1e6

Solution：

做多了就會發現莫比烏斯反演都是套路題

然而就算知道是套路題自己也推不出來QAQ

首先改變式子爲枚舉gcd

原式

=∏min(n,m)d=1f[d]∑ni=1∑mj=1[gcd(i,j)==d]$=\prod _{d=1}^{min(n,m)}f[d]\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m[gcd(i,j)==d]$

=∏min(n,m)d=1f[d]∑⌊nd⌋i=1∑⌊md⌋j=1[gcd(i,j)==1]$=\prod _{d=1}^{min(n,m)}f[d]\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{d}\rfloor }[gcd(i,j)==1]$

=∏min(n,m)d=1f[d]∑⌊min(n,m)d⌋k=1μ(k)⌊nkd⌋⌊mkd⌋$=\prod _{d=1}^{min(n,m)}f[d{]}^{\sum _{k=1}^{\lfloor \frac{min(n,m)}{d}\rfloor }\mu (k)\lfloor \frac{n}{kd}\rfloor \lfloor \frac{m}{kd}\rfloor }$

=∏min(n,m)d=1∏⌊min(n,m)d⌋k=1f[d]μ(k)⌊nkd⌋⌊mkd⌋$=\prod _{d=1}^{min(n,m)}\prod _{k=1}^{\lfloor \frac{min(n,m)}{d}\rfloor }f[d{]}^{\mu (k)\lfloor \frac{n}{kd}\rfloor \lfloor \frac{m}{kd}\rfloor }$

上面的形態也是一個套路：轉爲枚舉kd以及其約數，設p=kd

=∏min(n,m)p=1∏d|pf[d]μ(pd)⌊np⌋⌊mp⌋$=\prod _{p=1}^{min(n,m)}\prod _{d|p}f[d{]}^{\mu (\frac{p}{d})\lfloor \frac{n}{p}\rfloor \lfloor \frac{m}{p}\rfloor }$

=∏min(n,m)p=1(∏d|pf[d]μ(pd))⌊np⌋⌊mp⌋$=\prod _{p=1}^{min(n,m)}(\prod _{d|p}f[d{]}^{\mu (\frac{p}{d})}{)}^{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor \lfloor \frac{m}{p}\rfloor }$

現在我們就使括號裏的那一坨獨立了，我們就可以預處理出對於每個p括號內的值，求一個前綴積再用數論分塊即可

預處理括號內的值可以枚舉約數，複雜度爲O(n+n2+n3+...)=O(nlogn)$O(n+\frac{n}{2}+\frac{n}{3}+...)=O(n\log n)$

數論分塊+快速冪 總複雜度O(Tn−−√logmod)$O(T\sqrt{n}\log mod)$

代碼：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int T,n,m;
int prim[200010],miu[1000010],cnt;
bool vis[1000010];
int fib[1000010],qzj[1000010];
int f[1000010][3];
const int mod=1e9+7;
void get_prim(int n)
{
    miu[1]=1;fib[0]=0;fib[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
        fib[i]=fib[i-1]+fib[i-2];if (fib[i]>=mod) fib[i]-=mod;
        if (!vis[i]) prim[++cnt]=i,vis[i]=1,miu[i]=-1;
        for (int j=1;j<=cnt&&prim[j]*i<=n;j++)
        {
            vis[prim[j]*i]=1;
            miu[prim[j]*i]=-miu[i];
            if (i%prim[j]==0) {miu[prim[j]*i]=0;break;}
        }
    }
}
int fast_pow(int x,int a)
{
    int ans=1;
    for (;a;a>>=1,x=1ll*x*x%mod)
        if (a&1) ans=1ll*ans*x%mod;
    return ans;
}
void get_xjb(int n)
{
    qzj[0]=1;
    for (int i=1;i<=n;i++) qzj[i]=1,f[i][0]=fast_pow(fib[i],mod-2),f[i][1]=1,f[i][2]=fib[i];
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=i;j<=n;j+=i)
            qzj[j]=1ll*qzj[j]*f[i][miu[j/i]+1]%mod;
    for (int i=2;i<=n;i++) qzj[i]=1ll*qzj[i]*qzj[i-1]%mod; 
}
int read()
{
    int x=0,t=1;char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*t;
}
int main()
{
    get_prim(1000000);get_xjb(1000000);
    T=read();
    while (T--)
    {
        n=read();m=read();
        int ans=1,last=0;
        for (int i=1;i<=min(n,m);i=last+1)
        {
            last=min(n/(n/i),m/(m/i));
            int nw=1ll*qzj[last]*fast_pow(qzj[i-1],mod-2)%mod;
            ans=1ll*ans*fast_pow(nw,1ll*(n/i)*(m/i)%(mod-1))%mod; 
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
}