[Noi2010]能量採集 （莫比烏斯反演）

[Noi2010]能量採集

Description

棟棟有一塊長方形的地，他在地上種了一種能量植物，這種植物可以採集太陽光的能量。在這些植物採集能量後，

棟棟再使用一個能量彙集機器把這些植物採集到的能量彙集到一起。 棟棟的植物種得非常整齊，一共有n列，每列

有m棵，植物的橫豎間距都一樣，因此對於每一棵植物，棟棟可以用一個座標(x, y)來表示，其中x的範圍是1至n，

表示是在第x列，y的範圍是1至m，表示是在第x列的第y棵。 由於能量彙集機器較大，不便移動，棟棟將它放在了

一個角上，座標正好是(0, 0)。 能量彙集機器在彙集的過程中有一定的能量損失。如果一棵植物與能量彙集機器

連接而成的線段上有k棵植物，則能量的損失爲2k + 1。例如，當能量彙集機器收集座標爲(2, 4)的植物時，由於

連接線段上存在一棵植物(1, 2)，會產生3的能量損失。注意，如果一棵植物與能量彙集機器連接的線段上沒有植

物，則能量損失爲1。現在要計算總的能量損失。 下面給出了一個能量採集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20

棵植物，在每棵植物上標明瞭能量彙集機器收集它的能量時產生的能量損失。 在這個例子中，總共產生了36的能

量損失。

Input

僅包含一行，爲兩個整數n和m。

Output

僅包含一個整數，表示總共產生的能量損失。

Sample Input

【樣例輸入1】
5 4
【樣例輸入2】
3 4
 

Sample Output

【樣例輸出1】
36
【樣例輸出2】
20

對於100%的數據：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

題解

莫比烏斯反演

老套路，先設n<m

我們注意到每個格子的貢獻其實就是2 * gcd(x,y) - 1，所以我們要求的是

其中最難蒜的就是中間那一坨

我們設

我們先求一個更簡單的，

那麼根據莫比烏斯反演公式，

然後把f(k)代入前面的那一坨式子裏

因爲dk <= n，所以我們不妨就設T=dk ，枚舉 T，然後枚舉 T 的因數 k

仔細一看，後面的

大有文章。

這不就是莫比烏斯反演的後半段嗎？我們解一解，設

，那麼不就有這個關係

反演過來，剛好是

所以最終的答案就是

用歐拉篩做一遍，然後枚舉van事。

ＣＯＤＥ

之前歐拉篩裏寫了μ，懶得刪了

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<cmath>
#include<iostream>
#define MAXN 100005
#define LL long long
#define rg register
#define lowbit(x) (-(x) & (x))
#define ENDL putchar('\n')
#pragma GCC optimize(2)
//#pragma G++ optimize(3)
//#define int LL
using namespace std;
inline int read() {
	int f = 1,x = 0;char s = getchar();
	while(s < '0' || s > '9') {if(s == '-')f = -1;s = getchar();}
	while(s >= '0' && s <= '9') {x = x * 10 - '0' + s;s = getchar();}
	return x * f;
}
LL zxy;
LL n,m,i,j,k,s,o;
int p[MAXN],cnt;
int mu[MAXN];
LL phi[MAXN];
bool f[MAXN];
inline void sieve(int n) {
	mu[1] = 1;
	phi[1] = 1;
	for(rg int i = 2;i <= n;i ++) {
		if(!f[i]) {
			p[++ cnt] = i;
			mu[i] = -1;
			phi[i] = i-1;
		}
		for(rg int j = 1;j <= cnt && i * p[j] <= n;j ++) {
			f[i * p[j]] = 1;
			if(i % p[j] == 0) {
				mu[i * p[j]] = 0;
				phi[i * p[j]] = p[j] * phi[i];
				break;
			}
			else mu[i * p[j]] = -mu[i],phi[i * p[j]] = phi[i] * phi[p[j]];
		}
	}
	return ;
}
signed main() {
	sieve(100000);
	n = read();m = read();
	if(n > m) swap(n,m);
	LL ans = 0;
	for(int i = 1;i <= n;i ++) {
		ans += (n/i) *1ll* (m/i) * phi[i];
	}
	printf("%lld\n",2ll * ans - n * 1ll * m);
    return 0;
}