800. 揹包問題 IX

寫在前面，如果有更好的方法可以給博主分享一下麼，木有vip，看不到lintcode的題解，謝謝啦

題目描述

https://www.lintcode.com/problem/backpack-ix/description

你總共有n萬元，希望申請國外的大學，要申請的話需要交一定的申請費用，給出每個大學的申請費用以及你得到這個大學offer的成功概率，大學的數量是 m。如果經濟條件允許，你可以申請多所大學。找到獲得至少一份工作的最高可能性。

樣例

輸入：n = 10, prices = [4, 4, 5], probability = [0.1, 0.2, 0.3]

輸出：0.440

解釋：選擇低第2和第3個學校。

自己添加一點解釋：至少一份工作的可能性，是1 - 一份工作都沒有的可能性，即。其實這仍是經典0-1揹包的變種，n相當於揹包容量，prices相當於重量，probability數組稍加處理(1-probability[i])相當於價值，只不過價值之間相乘，取最小，表示一個學校也去不了的可能性，則1-一個學校也去不了的可能性表示至少可以去一個的可能性，則前面取最小，用1減去該值，則是最大。

題解

方法一：遞歸

_helper(self, w, v, index, c)函數，表示考慮求解考慮選擇[0,index]中的學校，能得出的一個學校都去不了的最小可能性，遞歸函數，其中index，表示在可用money爲c的情況下考慮選擇[0, index]中的學校，c-表示可用的金額，故是最終結果，其表示在可用資金爲n的情況下，一個學校也去不了的最小可能性，用1-該值，則爲結果。

之前類比了經典0-1揹包問題，這邊解釋一下，遞歸終止條件，返回1，是因爲連乘，經典的返回0，是因爲連加。

if index < 0 or c < 0:
    return 1

class Solution:
    """
    @param n: Your money
    @param prices: Cost of each university application
    @param probability: Probability of getting the University's offer
    @return: the  highest probability
    """
    def backpackIX(self, n, prices, probability):
        if not prices or len(prices) != len(probability) or n <= 0:
            return 0
        res = 1 - self._helper(prices, probability, len(prices) - 1, n)
        return round(float(res), 2)

    def _helper(self, w, v, index, c):
        if index < 0 or c < 0:
            return 1
        res = 1
        for i in range(0, index + 1):
            res = min(res, self._helper(w, v, i - 1, c))
            if c - w[i] >= 0:
                res = min(res, self._helper(w, v, i - 1, c - w[i]) * (1 - v[i]) )
        return res

方法二：記憶化搜索

class Solution:
    def __init__(self):
        self.memo = []

    def backpackIX(self, n, prices, probability):
        if not prices or len(prices) != len(probability) or n <= 0:
            return 0
        self.memo = [[-1] * (n + 1) for _ in range(len(prices))]
        res = 1 - self._helper(prices, probability, len(prices) - 1, n)
        return round(float(res), 2)

    def _helper(self, w, v, index, c):
        if index < 0 or c < 0:
            return 1
        if self.memo[index][c] != -1:
            return self.memo[index][c]
        res = 1
        for i in range(0, index + 1):
            res = min(res, self._helper(w, v, i - 1, c))
            if c - w[i] >= 0:
                res = min(res, self._helper(w, v, i - 1, c - w[i]) * (1 - v[i]) )
        self.memo[index][c] = res
        return res

方法三：動態規劃

class Solution:
    def backpackIX(self, n, prices, probability):
        if not prices or len(prices) != len(probability) or n <= 0:
            return 0

        dp = [[1] * (n + 1) for _ in range(len(prices))]

        for j in range(n + 1):
            if j >= prices[0]:
                dp[0][j] = 1 - probability[0]

        for i in range(1, len(prices)):
            for j in range(n + 1):
                dp[i][j] = dp[i -1][j]
                if j >= prices[i]:
                    dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i - 1][j - prices[i]] * (1 - probability[i]))

        res = 1 - dp[-1][-1]
        return round(float(res), 2)

 空間優化

class Solution:
    def backpackIX(self, n, prices, probability):
        if not prices or len(prices) != len(probability) or n <= 0:
            return 0

        dp = [1] * (n + 1)

        for i in range(0, len(prices)):
            j = n
            while j - prices[i] >= 0:
                dp[j] = min(dp[j], dp[j - prices[i]] * (1 - probability[i]))
                j -= 1

        res = 1 - dp[-1]
        return round(float(res), 2)