矩陣乘法及其應用

定義

• 對於兩個矩陣 A（m*p）,B（p*n），他們的乘積爲 C，那麼有：
• Ci,j=∑k=1pAi,k+Bk,j
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快速冪

• 可以做個函數返回兩個矩陣的積，那麼利用快速冪的思想，就可以在log的時間內求出一個矩陣的冪。
• 實際上除了乘的部分需要稍微改一下，其它都相同，注意一下初始化就行了。
• 初始化ksm()中ret的時候，需要初始化成單位矩陣，即 a[i][i]=1，其它爲0的矩陣。
• 之前寫過一篇快速冪的博文傳送門
• 模板題 http://blog.csdn.net/jackypigpig/article/details/78453575

應用

快速求斐波那契數列某一項

結論

• 可以弄一個 2*2 的矩陣
• A=[0111]
• 那麼會發現，斐波那契數列除前兩個1外，第 n 項就是 An ，可以自己試試。

證明

• 可以歸納證明

程序

//Luogu-1962
#include <cstdio>
#define Ha 1000000007
typedef long long ll;
struct matrix{ll a[2][2];} A;
ll n;

matrix multi(matrix x,matrix y){
    matrix z={0};
    for (ll i=0; i<=1; i++)
        for (ll j=0; j<=1; j++)
            for (ll k=0; k<=1; k++)
                z.a[i][j]=(z.a[i][j]+(x.a[i][k]*y.a[k][j])%Ha)%Ha;
    return z;
}

matrix ksm(matrix x,ll y){
    matrix ret={0};
    ret.a[0][0]=ret.a[1][1]=1;
    for (; y; y>>=1,x=multi(x,x))
        if (y&1) ret=multi(ret,x);
    return ret;
}

int main(){
    A.a[0][0]=0,A.a[0][1]=A.a[1][0]=A.a[1][1]=1;    
    scanf("%lld",&n);
    printf("%lld\n",ksm(A,n-1).a[1][1]) ;
}