【KMP算法簡介】
KMP算法是一種改進後的字符串匹配算法，由D.E.Knuth與V.R.Pratt和J.H.Morris同時發現，因此人們稱它爲克努特——莫里斯——普拉特操作（簡稱KMP算法）。通過一個輔助函數實現跳過掃描不必要的目標串字符，以達到優化效果。
【傳統字符串匹配算法的缺憾】
Bill認爲，對於一種優化的算法，既要知道優化的細節，也更應該瞭解它的前身（至於KMP是否基於傳統算法，我不清楚，這裏只作語境上的前身），瞭解是什麼原因導致了人們要去優化它，因此加入了這一段：
請看以下傳統字符串匹配的代碼：
void NativeStrMatching( ElemType Target[], ElemType Pattern[] )
{
register int TarLen = 0; // Length of Target
register int PatLen = 0; // Length of Pattern
// Compute the length of Pattern
while( '\0' != Pattern[PatLen] )
PatLen++;
while( '\0' != Target[TarLen] )
{
int TmpTarLen = TarLen;
for(int i=0; i<PatLen; i++)
{
if( Target[TmpTarLen++] != Pattern[i] )
break;
if( i == PatLen-1 )
cout<<"Native String Matching,pattern occurs with shift "<<TarLen<<endl;
}
TarLen++;
}
}
【代碼思想】
傳統匹配思想是，從目標串Target的第一個字符開始掃描，逐一與模式串的對應字符進行匹配，若該組字符匹配，則檢測下一組字符，如遇失配，則退回到Target的第二個字符，重複上述步驟，直到整個Pattern在Target中找到匹配，或者已經掃描完整個目標串也沒能夠完成匹配爲止。
這樣的算法理解起來很簡單，實現起來也容易，但是其中包含了過多不必要的操作，也就是在目標串中，有些字符是可以直接跳過，不必檢測的。
不妨假設我們的目標串
Target = "a b c d e a b c d e a b c d f"
需要匹配的模式串
Pattern = "c d f";
那麼當匹配到如下情況時
由於 'e' != 'f' ，因此失配，那麼下次匹配起始位置就是目標串的'd'字符
我們發現這裏照樣失配，直到運行到下述情況
也就是說，中間的四個字符 d e a b 完全沒有必要檢測，直接跳轉到下一個'c'開始的地方進行檢測
由此可見傳統算法雖然簡單易行，但其中包含了過多的不必要操作，並不能很好地達到實際工作中需要的效率，因此個人認爲此方法適合爲初識字符串匹配做一個鋪墊作用，有拋磚引玉之意。
說其拋磚引玉並不爲過，對KMP算法的理解便可以基於傳統模式串匹配算法進行思考。
【KMP算法的引入】
既然知道了傳統算法的不足之處，就要對症下藥，優化這個冗餘的檢測算法。
KMP算法就能很好地解決這個冗餘問題。
其主要思想爲：
在失配後，並不簡單地從目標串下一個字符開始新一輪的檢測，而是依據在檢測之前得到的有用信息（稍後詳述），直接跳過不必要的檢測，從而達到一個較高的檢測效率。
如我們的
a b c d e a b c d e a b c d f
| | : | | :
c d f c d f
第一次失配 新的檢測
當第一次失配後，並不從紅色標記字符'd'開始檢測，而是通過一些有用信息，直接跳過後幾個肯定不可能匹配的冗餘字符，而直接讓模式串Pattern從目標串的紅色標記字符'c'開始新一輪的檢測，從而達到了減少循環次數的效果
【KMP算法思想詳述與實現】
前面提到，KMP算法通過一個“有用信息”可以知道目標串中下一個字符是否有必要被檢測，這個“有用信息”就是用所謂的“前綴函數（一般數據結構書中的next函數）”來存儲的。
這個函數能夠反映出現失配情況時，系統應該跳過多少無用字符（也即模式串應該向右滑動多長距離）而進行下一次檢測，在上例中，這個距離爲4.
總的來講，KMP算法有2個難點：
一是這個前綴函數的求法。
二是在得到前綴函數之後，怎麼運用這個函數所反映的有效信息避免不必要的檢測。
下面分爲兩個板塊分別詳述：
【前綴函數的引入及實現】
【前綴函數的引入】
對於前綴函數，先要理解前綴是什麼：
簡單地說，如字符串A = "abcde" B = "ab"
那麼就稱字符串B爲A的前綴，記爲B ⊏ A(注意那不是"包含於"，Bill把它讀作B前綴於A)，說句題外話——"⊏"這個符號很形象嘛，封了口的這面相當於頭，在頭前面的就是前綴了。
同理可知 C = "e","de" 等都是 A 的後綴，以爲C ⊐ A（Bill把它讀作C後綴於A）
理解了什麼是前、後綴，就來看看什麼是前綴函數：
在這裏不打算引用過多的理論來說明，直接引入實例會比較容易理解，看如下示例：
(下述字符若帶下標，則對應於圖中畫圈字符)
這裏模式串 P = “ababaca”,在匹配了 q=5 個字符後失配，因此，下一步就是要考慮將P向右移多少位進行新的一輪匹配檢測。傳統模式中，直接將P右移1位，也就是將P的首字符'a'去和目標串的'b'字符進行檢測，這明顯是多餘的。通過我們肉眼的觀察，可以很簡單的知道應該將模式串P右移到下圖'a3'處再開始新一輪的檢測，直接跳過肯定不匹配的字符'b'，那麼我們“肉眼”觀察的這一結果怎麼把它用語言表示出來呢？
我們的觀察過程是這樣的：
P的前綴"ab"中'a' != 'b'，又因該前綴已經匹配了T中對應的"ab"，因此，該前綴的字符'a1'肯定不會和T中對應的字串"ab"中的'b'匹配，也就是將P向右滑動一個位移是無意義的。
接下來考察P的前綴"aba"，發現該前綴自身的前綴'a1'與自身後綴'a2'相等，"a1 b a2" 已經匹配了T中的"a b a3"，因此有 'a2' == 'a3', 故得到 'a1' == 'a3'......
利用此思想，可推知在已經匹配 q=5 個字符的情況下，將P向右移 當且僅當 2個位移時，才能滿足既沒有冗餘(如把'a'去和'b'比較)，又不會丟失(如把'a1' 直接與 'a4' 開始比較，則丟失了與'a3'的比較)。
而前綴函數就是這樣一種函數，它決定了q與位移的一一對應關係，通過它就可以間接地求得位移s。
通過對各種模式串進行上述分析(大家可以自己多寫幾個模式串出來自己分析理解)，發現給定一個匹配字符數 q ，則唯一對應一個有效位移，如上述q=5,則對應位移爲2.
這就形成了一一對應關係，而這種唯一的關係就是由前綴函數決定的。
這到底是怎樣的一種關係呢？
通過對諸多模式串實例的研究，我們會找到一個規律（規律的證明及引理詳見《算法導論(第二版)》）。
上例中，P 已經匹配的字符串爲"ababa",那麼這個字符串中，滿足既是自身真後綴(即不等於自身的後綴)，又是自身最長前綴的字符串爲"aba"，我們設這個特殊字串的長度爲L，顯然，L = 3. 故我們要求的 s = q - L = 5 - 3 = 2 ，滿足前述分析。
根據這個規律，即可得到我們要求的有效位移s，等於已經匹配的字符數 q 減去長度 L。
即 s = q - L
因爲這個長度 L 與 q 一一對應，決定於q，因此用一函數來表達這一關係非常恰當，這就是所謂的前綴函數了。
因爲已經分析得到該關係爲一一對應關係，因此用數組來表示該函數是比較恰當的，以數組的下標表示已經匹配的字符數 q，以下標對應的數據存儲 L。
【前綴函數的實現】
下面就來分析怎麼用代碼來表達這種關係。
這裏採用《算法導論(第二版)》中的思想求解。
不妨以 PrefixFunc[] 表示這個前綴函數，那麼我們將得到以下求前綴函數的函數：
由於 0 個匹配字符數在計算中沒有意義，因此PrefixFunc下標從1開始，也就是從已經有一個字符(即首字符)匹配的情況開始
// Compute Prefix function
void CptPfFunc( ElemType Pattern[], int PrefixFunc[] )
{
// ERROR: The parameter Pattern[] is a pointer,the size of it is 4
register int iLen = 0; // Length of Pattern[]
while( '\0' != Pattern[iLen] )
iLen++;
int LOLP = 0; // Lenth of longest prefix
PrefixFunc[1] = 0;
for( int NOCM=2; NOCM<iLen+1; NOCM++ ) // NOCM represent the number of characters matched
{
while( LOLP>0 && (Pattern[LOLP] != Pattern[NOCM-1]) )
LOLP = PrefixFunc[LOLP];
if( Pattern[LOLP] == Pattern[NOCM-1] )
LOLP++;
PrefixFunc[NOCM] = LOLP;
}
}
對此函數的詳解，不妨以一實例帶入(建議大家自己手算一下，算完應該就有感覺了)，易於理解：
不妨設模式串Pattern = "a b c c a b c c a b c a"
Pattern 數組編號：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
NOCM 表示 已經匹配的字符數
LOLP 表示 既是自身真後綴又是自身最長前綴的字符串長度
以下是計算流程：
PrefixFunc[1] = 0； //只匹配一個字符就失配時，顯然該值爲零
LOLP = 0； NOCM = 2； LOLP = 0; PrefixFunc[2] = 0;
LOLP = 0； NOCM = 3； LOLP = 0; PrefixFunc[3] = 0;
LOLP = 0； NOCM = 4； LOLP = 0; PrefixFunc[4] = 0;
LOLP = 0； NOCM = 5； LOLP = 1; PrefixFunc[5] = 1;
LOLP = 1； NOCM = 6； LOLP = 2; PrefixFunc[6] = 2;
LOLP = 2； NOCM = 7； LOLP = 3; PrefixFunc[7] = 3;
LOLP = 3； NOCM = 8； LOLP = 4; PrefixFunc[8] = 4;
LOLP = 4； NOCM = 9； LOLP = 5; PrefixFunc[9] = 5;
LOLP = 5； NOCM = 10； LOLP = 6; PrefixFunc[10] = 6;
LOLP = 6； NOCM = 11； LOLP = 7; PrefixFunc[11] = 7;
LOLP = 7； NOCM = 12；
---------此時滿足條件while( LOLP>0 && (Pattern[LOLP] != Pattern[NOCM-1]) )-------------
while語句中的執行
{
LOLP = 7; NOCM = 12; LOLP = PrefixFunc[7] = 3;
LOLP = 3; NOCM = 12; LOLP = PrefixFunc[3] = 0;
}
LOLP = 0； NOCM = 12； LOLP = 1; PrefixFunc[12] = 1;
最後我們的前綴函數 PrefixFunc[] = { 0,0,0,0,1,2,3,4,5,6,7,1 }
其間最精妙的要屬失配時的操作
while( LOLP>0 && (Pattern[LOLP] != Pattern[NOCM-1]) )
LOLP = PrefixFunc[LOLP];
其中 LOLP = PrefixFunc[LOLP]; 遞歸調用PrefixFunc函數，直到整個P字串都再無最長前綴或者找到一個之前的滿足條件的最長前綴。
【應用前綴函數優化傳統匹配算法——KMP算法實現】
由以上分析，不難推導KMP算法的實現
void KMPstrMatching( ElemType Target[], ElemType Pattern[] )
{
int PrefixFunc[MAX_SIZE];
register int TarLen = 0;
register int PatLen = 0;
// Compute the length of array Target and Pattern
while( '\0' != Target[TarLen] )
TarLen++;
while( '\0' != Pattern[PatLen] )
PatLen++;
// Compute the prefix function of Pattern
CptPfFunc( Pattern, PrefixFunc );
int NOCM = 0; // Number of characters matched
for( int i=0; i<TarLen; i++ )
{
while( NOCM>0 && Pattern[NOCM] != Target[i] )
NOCM = PrefixFunc[NOCM];
if( Pattern[NOCM] == Target[i] )
NOCM++;
if( NOCM == PatLen )
{
cout<<"KMP String Matching,pattern occurs with shift "<<i - PatLen + 1<<endl;
NOCM = PrefixFunc[NOCM];
}
}
}
【參考文獻】
《Introduction to Algorithms》Second Edition
by Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest and Clifford
這是Bill的CSDN博客