平衡二叉樹
對於二叉查找樹，儘管查找、插入及刪除操作的平均運行時間爲O(logn)，但是它們的最差運行時間都是O(n),原因在於對樹的形狀沒有限制。
平衡二叉樹又稱爲AVL樹，它或者是一棵空樹，或者是有下列性質的二叉樹：它的左子樹和右子樹都是平衡二叉樹，且左右子樹的深度之差的絕對值不超過1。二叉樹的的平衡因子BF爲：該結點的左子樹的深度減去它的右子樹的深度，則平衡二叉樹的所有結點的平衡因子爲只可能是：-1、0和1
一棵好的平衡二叉樹的特徵：
（1）保證有n個結點的樹的高度爲O(logn)
（2）容易維護，也就是說，在做數據項的插入或刪除操作時，爲平衡樹所做的一些輔助操作時間開銷爲O(1)
一、平衡二叉樹的構造
在一棵二叉查找樹中插入結點後，調整其爲平衡二叉樹。若向平衡二叉樹中插入一個新結點後破壞了平衡二叉樹的平衡性。首先要找出插入新結點後失去平衡的最小子樹根結點的指針。然後再調整這個子樹中有關結點之間的鏈接關係，使之成爲新的平衡子樹。當失去平衡的最小子樹被調整爲平衡子樹後，原有其他所有不平衡子樹無需調整，整個二叉排序樹就又成爲一棵平衡二叉樹
1.調整方法
（1）插入點位置必須滿足二叉查找樹的性質，即任意一棵子樹的左結點都小於根結點，右結點大於根結點
（2）找出插入結點後不平衡的最小二叉樹進行調整，如果是整個樹不平衡，才進行整個樹的調整。
2.調整方式
（1）LL型
LL型：插入位置爲左子樹的左結點，進行向右旋轉
創建平衡二叉樹，我們採用依次插入節點的方式進行。而平衡二叉樹上插入節點採用遞歸的方式進行。遞歸算法如下：
（1） 若該樹爲一空樹，那麼插入一個數據元素爲e的新節點作爲平衡二叉樹的根節點，樹的高度增加1。
（2） 若待插入的數據元素e和平衡二叉樹（BBST）的根節點的關鍵字相等，那麼就不需要進行插入操作。
（3） 若待插入的元素e比平衡二叉樹（BBST）的根節點的關鍵字小，而且在BBST的左子樹中也不存在和e有相同關鍵字的節點，則將e插入在BBST的左子樹上，並且當插入之後的左子樹深度增加1時，分別就下列情況處理之。
(a) BBST的根節點的平衡因子爲-1（右子樹的深度大於左子樹的深度）：則將根節點的平衡因子更改爲0，BBST的深度不變；
(b) BBST的根節點的平衡因子爲0（左右子樹的深度相等）：則將根節點的平衡因子修改爲1，BBST的深度增加1；
(c) BBST的根節點的平衡因子爲1（左子樹的深度大於右子樹的深度）：若BBST的左子樹根節點的平衡因子爲1，則需要進行單向右旋轉平衡處理，並且在右旋處理後，將根節點和其右子樹根節點的平衡因子更改爲0，樹的深度不變；
若BBST的左子樹根節點的平衡因子爲-1，則需進行先向左，後向右的雙向旋轉平衡處理，並且在旋轉處理之後，修改根節點和其左，右子樹根節點的平衡因子，樹的深度不變；
（4） 若e的關鍵字大於BBST的根節點的關鍵字，而且在BBST的右子樹中不存在和e有相同關鍵字的節點，則將e插入到BBST的右子樹上，並且當插入之後的右子樹深度加1時，分別就不同的情況處理之。
（a） BBST的根節點的平衡因子是1（左子樹的深度大於右子樹的深度）：則將根節點的平衡因子修改爲0，BBST的深度不變；
（b） BBST的根節點的平衡因子是0（左右子樹的深度相等）：則將根節點的平衡因子修改爲-1，樹的深度加1；
（c） BBST的根節點的平衡因子爲-1（右子樹的深度大於左子樹的深度）：若BBST的右子樹根節點的平衡因子爲1，則需要進行兩次選擇，第一次先向右旋轉，再向左旋轉處理，並且在旋轉處理之後，修改根節點和其左，右子樹根節點的平衡因子，樹的深度不變；
若BBST的右子樹根節點的平衡因子爲1，則需要進行一次向左的旋轉處理，並且在左旋之後，更新根節點和其左，右子樹根節點的平衡因子，樹的深度不變。
建樹內容轉自：http://blog.csdn.net/guoqingshuang/article/details/50190119感謝大神。Problem Description
根據給定的輸入序列建立一棵平衡二叉樹，求出建立的平衡二叉樹的樹根。
Input
輸入一組測試數據。數據的第1行給出一個正整數N(n <= 20)，N表示輸入序列的元素個數；第2行給出N個正整數，按數據給定順序建立平衡二叉樹。
Output
輸出平衡二叉樹的樹根。
Example Input
5
88 70 61 96 120Example Output
70Hint
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
typedef struct BiTNode{
int data;
BiTNode *lchild,*rchild;
int id;
}BiTNode,*BiTree;
int max(int a,int b){
return a>b?a:b;
}
int depth(BiTree T){
if(!T)
return -1;
return T->id;
}
BiTree LL(BiTree T){//右旋
BiTree q = T->lchild;
T->lchild = q->rchild;
q->rchild = T;
q->id = max(depth(q->lchild),depth(q->rchild))+1;
T->id = max(depth(T->lchild),depth(T->rchild))+1;
return q;
}
BiTree RR(BiTree T){//左旋
BiTree q = T->rchild;
T->rchild = q->lchild;
q->lchild = T;
q->id = max(depth(q->lchild),depth(q->rchild))+1;
T->id = max(depth(T->lchild),depth(T->rchild))+1;
return q;
}
BiTree LR(BiTree T){
T->lchild = RR(T->lchild);//先左
return LL(T);//後右
}
BiTree RL(BiTree T){
T->rchild = LL(T->rchild);//先右
return RR(T);//後左
}
void creat(BiTree &T,int key){
if(T==NULL){
T= new BiTNode;
T->data = key;
T->lchild = T->rchild = NULL;
T->id = 0;
}
else{
if(key<T->data){
creat(T->lchild,key);
if(depth(T->lchild)-depth(T->rchild)>1){
if(key < T->lchild->data)
T=LL(T);
else
T=LR(T);
}
}
else if(key>T->data){
creat(T->rchild,key);
if(depth(T->rchild)-depth(T->lchild)>1){
if(key>T->rchild->data)
T=RR(T);
else
T=RL(T);
}
}
}
T->id=max(depth(T->lchild),depth(T->rchild))+1;
}
int main(){
int n,i;
int a[22];
BiTree T;
T = NULL;
scanf("%d",&n);
for(i=0;i<n;i++){
scanf("%d",&a[i]);
creat(T,a[i]);
}
printf("%d\n",T->data);
return 0;
}