貝塞爾函數Bessel（原理與實現）

程序實現：

// crt_bessel1.c
#include <math.h>
#include <stdio.h>

int main( void )
{
   double x = 2.387;
   int n = 3, c;

   printf( "Bessel functions for x = %f:\n", x );
   printf( " Kind   Order  Function     Result\n\n" );
   printf( " First  0      _j0( x )     %f\n", _j0( x ) );
   printf( " First  1      _j1( x )     %f\n", _j1( x ) );
   for( c = 2; c < 5; c++ )
      printf( " First  %d      _jn( %d, x )  %f\n", c, c, _jn( c, x ) );
   printf( " Second 0      _y0( x )     %f\n", _y0( x ) );
   printf( " Second 1      _y1( x )     %f\n", _y1( x ) );
   for( c = 2; c < 5; c++ )
      printf( " Second %d      _yn( %d, x )  %f\n", c, c, _yn( c, x ) );
}

輸出結果：

Bessel functions for x = 2.387000: Kind Order Function Result First 0 _j0( x ) 0.009288 First 1 _j1( x ) 0.522941 First 2 _jn( 2, x ) 0.428870 First 3 _jn( 3, x ) 0.195734 First 4 _jn( 4, x ) 0.063131 Second 0 _y0( x ) 0.511681 Second 1 _y1( x ) 0.094374 Second 2 _yn( 2, x ) -0.432608 Second 3 _yn( 3, x ) -0.819314 Second 4 _yn( 4, x ) -1.626833

貝塞爾函數 在新的<cmath>/<math.h>頭文件中已經包含

庫函數：

第一類變形貝塞爾函數：doublecyl_bessel_i( double nu, double x ) ;

第二類變形貝塞爾函數：doublecyl_bessel_j( double nu, double x ) ;

第三類變形貝塞爾函數：doublecyl_bessel_k( double nu, double x ) ;

柱諾依曼函數第二類柱貝塞爾函數：doublecyl_neumann( double nu, double x ) ;

第一類球貝塞爾函數：doublesph_bessel( unsigned n, double x ) ;

原理解釋：

利用柱座標求解涉及在圓、球與圓柱內的勢場的物理問題時出現的一類特殊函數。又稱標函數。用柱座標解拉普拉斯方程時，用到貝塞爾函數，它們和其他函數組合成柱調和函數。除初等函數外，在物理和工程中貝塞爾函數是最常用的函數，它們以19世紀德國天文學家F.W.貝塞爾的姓氏命名，他在1824年第一次描述過它們。貝塞爾函數最早出現在涉及如懸鏈振盪，長圓柱體冷卻以及緊張膜振動的問題中。貝塞爾函數的一族，也稱第一類貝塞爾函數，記作Jn（x），用x的偶次冪的無窮和來定義，數 n稱爲貝塞爾函數的階，它依賴於函數所要解決的問題。J0 （x）的圖形像衰減的餘弦曲線，J1（x）像衰減的正弦曲線(見圖)。第二類貝塞爾函數(又稱諾伊曼函數)，記作Yn（x）。當n爲非整數時，Yn(x)可以由第一類貝塞爾函數的簡單組合來定義；當n爲整數時，Yn(x)不能由第一類貝塞爾函數的簡單組合得到，此時需要通過一個求極限過程來計算函數值。第三類貝塞爾函數（亦稱漢克爾函數）定義爲Hn＝Jn±iYn，其中i爲虛數，用n階(正或負)貝塞爾函數可解稱爲貝塞爾方程的微分方程。