數的幾何-網格求積分法初階

    高維數值積分數論方法研究開始於20世紀50年代末，其理論基礎是數論中的一致分佈論。命U_s表示 s維單位立方體。假定是U_s上定義的函數,並假定存在且其絕對值以C爲界。命題是U_s中具有偏差D(n)的點集。所謂數論方法就是用被積函數在p(k) (1≤k≤n)上值的算術平均值

                             

作爲U_s上定積分

                               

的近似值，而誤差由下面的公式給出：

                           

　　J(ƒ，p(k))就是由點集p(k)(1≤k≤n)定義的一個求積公式。因此尋求U_s上最佳求積公式的問題即等價於尋求U_s上最佳偏差的點集的問題。從計算方法的觀點看，不僅要求點集p(k)(1≤k≤n)的偏差小，而且要求p(k)的形式簡單，易於計算。

 

　　① 科羅博夫-勞卡方法　命p表示素數,a=(α₁,α₂,…,α_s)表示整數向量，科羅博夫和E.勞卡證明了,對於任意p，皆存在a，使點集

 

 

                  

有偏差。也就是說用點集Q(k)(1≤k≤p)構造的求積公式有誤差。對於p求出a的計算量爲O(p²)次初等運算。因此當p較大時,算出a來很困難。
　　② 分圓域方法　分圓域是一個次代數數域。利用的獨立單位組可得它的一個適合於　　

                       

的單位列n_l(l＝1,2,…),其中表示n_l的共軛數。如果使

                              

那麼得點集

                              

用這一點集構造的求積公式的誤差爲

                                

式中ε爲任意正數。算出n_l、h_jl(1≤j≤s-1)的計算量爲O(logn_l)。因此算出n_l和沒有困難，但缺點是誤差略爲偏大些。

 

　　當2≤s≤18時，上述的p、a、n_l和h都已彙編成表，可供查閱。

 

　　數論方法得到的求積公式的誤差主階均與維數無關，所以當s較大時，用數論方法近似計算U_s上的定積分比較容易計算。

 

 

 
　　

 
　　

參考書目
　華羅庚、王元著：《數論在近似分析中的應用》，科學出版社，北京，1978。