探究三角形的等積分割線

      如何將一個三角形面積分割成兩個相等的部分，是我們已熟知的問題，只要沿三角形的中線，即可把三角形分割成面積相等的兩個部分，許多人會認爲，這樣的分割線只有三條，但是，這樣的分割線到底有多少條呢？
        問題1：請用一條直線，把△ABC分割爲面積相等的兩部分。
        解：取BC的中點，記爲點D，連結AD，則AD所在直線把△ABC分成面積相等的兩個部分。
        大家知道，這樣分割線一共有三條，分別是經過△ABC的三條中線的直線，能把△ABC的面積分成相等兩部分。除了這三條以外，還有很多種，並且對於△ABC邊上任意一點，都可以找到一條經過這點且把三角形面積平分的直線。
        問題2：點E是△ABC中AB邊上的任意一點，且AE≠BE，過點E求作一條直線，把△ABC分成面積相等的兩部分。      
        解：取AB的中點D，連結CD，過點D作DF∥CE，交BC於點F，則直線EF就是所求的分割線。
        證明：設CD、EF相交於點P
        ∵點D是AB的中點
        ∴AD=BD     ∴S△CAD=S△CBD
        ∴S四邊形CAEP＋S△PED=S四邊形DPFB＋S△PCF
        又∵DF∥CE   ∴S△FED=S△DCF（同底等高）
        即：S△PED=S△PCF
        ∴S四邊形CAEP=S四邊形DPFB
        ∴S四邊形CAEP＋SPCF=S四邊形DPFB＋S△PED
        即S四邊形AEFC=S△EBF
        由此可知，把三角形面積進行平分的直線有無數條，而且經過邊上任意一條直線，運用梯形對角線的特殊性質，很容易作出這樣的分割線。
        那麼，這些分割線會不會交於某特定的一點呢？
        大家知道，三角形的三條中線都把三角形分成面積相等的兩個部分，而三條中線交於它的重心，如果這些分割線相交於一點，那麼這點必定是三角形的重心。
        問題3：已知：如圖3，在△ABC中，G是△ABC的重心，過點G作EF∥BC交AB於點E，交AC於點F，求證：S△AEF=S△ABC.
        證明：延長AG，交BC於點D
        ∵點G是△ABC的重心
        ∴AG:AD=2:3
        又∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC        
        由本題可得：過AB邊上的點E，經過重心G的直線，EF把三角形面積分爲4:5兩部分，直線EF並不是三角形的等積分割線。而根據問題2，可以找到一條過點E把三角形面積平分的一條直線，這條直線必不過重心G。
        綜上可知，三角形的等積分割線有無數條，而且任意給定邊上一點，都可以作出相應的等積分割線，且只有一條，所有的分割線並不相交於三角形的重心。