3. 彎曲時空自由量子場論的代數表述
在任意全局雙曲時空 (M, gab) 的量子場論代數表述中， 人們首先爲場可觀測量指定一個代數。 對於自由 Klein-Gordon 場， 合適的代數可以通過以下方式來定義。 首先定義一個自由 *-代數 A0， 它由單位元 I 以及形如 φ(f) - 其中 f 爲 M 上的試驗函數 - 的表達式所生成 [譯者注： φ(f) 即上篇所定義的 f 對 φ 的 “塗抹”]。 換句話說， A0 包含所有 φ 與 φ* 的有限乘積構成的有限線性組合， 例如 c1φ(f1)φ(f2) + c2φ*(f3)φ(f4)φ*(f5)。 然後再對 A0 附加以下條件： (i) 對 f 線性； (ii) 對 φ 取實值： φ*(f)=φ(f)， 其中 f 爲 f 的複共軛； (iii) 滿足 Klein-Gordon 方程： φ([∇a∇a-m2]f)=0； (iv) 正則對易關係：
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[φ(f), φ(g)] = -iΔ(f, g)I |
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其中 Δ 表示超前與推遲 Green 函數之差。 我們所需要的 *-代數 A 便是 A0 約去了這些關係後的代數。 注意 A 中的可觀測量對應於量子場 φ 的相關函數。
在代數方法中， 狀態 ω 是一個對所有 A∈A 滿足正定條件 ω(A*A)≥0 的線性映射 ω: A→C。 ω(A) 被詮釋爲可觀測量 A 在狀態 ω 上的期待值 [譯者注： 簡單地講， 在代數表述中態 ω 是作用在可觀測量 A 上的函數， 這與通常的量子力學表述恰好相反。 另外， 人們通常在態的定義中附加歸一化條件： ω(I)=1。]。
普通 Hilbert 空間中的態可以這樣導出代數態： 設 H 爲 Hilbert 空間， 帶有 A 的表示 π， 即對每一個 A∈A， π(A) 是 H 上的算符， 並且映射 A→π(A) 保持 A 上的代數關係。 令 Ψ∈H 處於所有算符 π(A) 的共同定義域中， 那麼由
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ω(A) = <Ψ|π(A)|Ψ> |
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給出的映射 ω: A→C 就定義了 A 上的一個態 [譯者注： 確切地講， 上述定義中的 ψ 是所謂的循環向量 (cyclic vector)， 感興趣的讀者可查閱有關 Gelfand-Naimark-Segal (GNS) 構造的文獻。]。
反過來， 給定了 A 上的一個態 ω， 我們可以用它定義 A 上的一個 (準) 內積：
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(A1, A2) = ω(A*1A2) |
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這不一定能夠定義 A 上的內積， 因爲儘管對所有 A∈A 都有 (A, A)≥0， 但有可能存在非零元素使得 (A, A)=0。 但是， 出現這種情況時， 我們可以在空間中約去那種零模矢量。 這樣我們就得到了一個帶有 A 的自然表示 π 的 Hilbert 空間 H。 對應於 I∈A 的矢量 Ψ∈H 對所有 A∈A 滿足 ω(A)=<Ψ|π(A)|Ψ>。 確定算符 π(A) 在態 Ψ 上的普通量子力學機率法則可以用來定義可觀測量 A 在狀態 ω 上的機率法則。 由此， 就 A 中的局域場可觀測量而言， 我們得到了 Klein-Gordon 場在任意全局雙曲彎曲時空上的完全表述， 即對於任何狀態， 我們可以給出測量 A 上所有可觀測量的所有可能結果的機率。 我們不需要引進優越 “真空態” 或 “粒子” 的概念， 雖然如果願意的話我們當然完全可以對特定時空引進那些概念。
如我們剛剛看到的， 代數意義上的每一個狀態都對應於一個普通 Hilbert 空間意義上的狀態。 那麼， 用代數方法表述理論有什麼優點呢？ 一個主要的優點就是不必在一開始選定表象， 也就是說我們可以同時考慮來自理論的所有 Hilbert 空間構造的所有狀態。 由此產生的一個結果是， 我們在定義理論時可以不必在一開始選定 “真空態” 或其它有問題的概念。 此外， 值得注意的是態的代數概念篩除了 Hilbert 空間中不在理論的可觀測量定義域中的非物理態， 理論的 Hilbert 空間表象中不在所有 π(A) 的定義域中的矢量不定義代數意義上的態。
就 A 中的可觀測量而言， 上面給出了彎曲時空中自由 Klein-Gordon 場的完全令人滿意的構造。 類似的構造也適用於所有其它自由 (即無自相互作用的) 量子場。 但是起碼出於下面兩個原因， 總體的狀況仍然是不完全並且不能令人滿意的： 第一， 即使我們只對自由 Klein-Gordon 場論感興趣， 也依然有許多我們感興趣的可觀測量不在 A 中。 事實上， A 中的可觀測量只是線性場 φ 的 n-點函數， 它們甚至不包括 φ 及其導數的多項式 (Wick 多項式)。 具有極大物理重要性卻不在 A 中的可觀測量的一個首要例子是能量動量張量 Tab， 它是估計量子場對時空度規的反作用所需要的。 因此， 我們希望對代數 A 進行擴展， 使之起碼包含 Wick 多項式。 第二， 我們並不相信自然界中的量子場是由自由場描述的， 因此我們希望將理論拓展到非線性場。 即使在 Minkowski 時空中， 人們也只在微擾層次上知道該如何做， 但是我們希望起碼能把這些微擾法則推廣到彎曲時空。 這些微擾法則要求我們能夠定義自由場的 Wick 多項式以及場多項式的編時乘積。 爲此我們同樣需要拓展代數 A 使之包含那樣的量。
如果量子場在確定的時空事件 p 上有良好的定義， 定義 φ 的多項式及編時乘積將是直截了當的。 但是， 如我們在 (12) 式後面已經註明的， 量子場只有作爲時空上的分佈纔有意義。 因此， 定義諸如 [φ(p)]2 的樸素企圖不太可能比試圖定義 Dirac δ-函數的平方更有意義。 對於這一例子來說， 一種自然的嘗試是通過類似於
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φ2(f) = limn→∞∫φ(x)φ(y)Fn(x,y)d4xd4y |
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的公式來定義塗抹的 Wick 冪 φ2(f)， 這裏 Fn(x,y) 是一個趨向於 Dirac δ-函數的光滑函數序列。 但是， 右端的極限是發散的， 爲了讓極限有良好的行爲， 必須先對這一表達式做某種類型的 “正規化”。
一旦定義了 Wick 冪 φk(f)， 就可以很容易地通過對因子直接 “編時” 而定義編時乘積 T(φk1(f1)...φkn(fn))， 其中支撐 f1,...,fn 具有適當的因果結構使其編時乘積具有良好定義。 事實上， 對因子數目 n 採用歸納法， 只要 f1,...,fn 的支撐的交集爲空， 就可以直截了當地定義 T(φk1(f1)...φkn(fn))。 但是， 將這一分佈推廣到 “全對角” (total diagonal) 情形， 即 f1,...,fn 的支撐的相互交集非空的情形， 卻並不直截了當。
從上面我敘述正規化問題的方式來看， 似乎最困難的問題是定義 Wick 多項式， 而定義編時乘積只不過是這一問題的小小補充。 但事實上， 在 Minkowski 時空中 Wick 多項式可以很容易地通過正規乘積方法來定義， 這可以詮釋爲在對 (18) 式右端取極限前先把場量中的真空期待值減除。 另一方面， 將編時乘積推廣爲全對角的問題等價於對所有的 Feynman 圖進行重整化， 這是一個極端困難與複雜的問題。
爲了將 Minkowski 時空中的正規化與重整化方法推廣到彎曲時空， 許多重要的原則性問題必須解決。 在 Minkowski 時空中定義 Wick 多項式的正規乘積方法有賴於存在一個優越的真空態， 正規乘積是相對於這一真空態計算的。 但是， 我們已經看到在一般彎曲時空中並不存在優越真空態的概念。 不僅如此， 在 Minkowski 時空中定義編時乘積所需的重整化規則用到了 “動量空間方法” (即物理量的全局 Fourier 變換) 或 “歐幾里得方法” (即對定義在歐幾里得而非 Minkowski 空間的表達式進行解析延拓)。 這些方法進而要求 Poincaré 對稱性， 優越的 Poincaré 不變的真空態， 以及通過變換 t→it 將 Minkowski 時空 “歐幾里得化” 的能力。 所有這些在一般的彎曲時空中都不存在。
在七十年代後期人們就已經知道量子場 φ 的能量動量張量只在受到限定的一類狀態上才能定義， 這類狀態即所謂的 Hadamard 態 ωH， 其兩點分佈 ωH(φ(x), φ(y)) 在 y→x 時具有特殊形式的小距離奇點行爲 [譯者注： 這一小距離奇點行爲的具體形式爲： ωH(φ(x), φ(y)) = U(x, y)/|y-x|2 + V(x, y)ln|y-x|2 + W(x, y)， 其中 U, V, W 都是非奇異函數]。 對於 Hadamard 態， 可以給出一個定義期待值 ωH(Tab) 的方法， 涉及從 ωH(φ(x), φ(y)) 中減除一個局域且協變地構造出的 Hadamard 擬基本解奇異函數 (Hadamard parametrix) 而非真空期待值。 由此得到的方法給出了定義 ωH(Tab) 的無需選擇真空態的令人完全滿意的方式。 事實上， 這一方法在 ωH(Tab) 在 p 點的取值只依賴於時空幾何及 p 的任意小鄰域內的 ωH 的意義上是局域並且協變的。 不難證明， 即使人們能夠在所有時空中選擇一個唯一的真空態， 正規乘積也不能給出一個局域且協變的 ωH(Tab)。
但是， 儘管上述方法給出了 Hadamard 態上能量動量張量期待值的令人滿意的定義， 並且可以推廣爲高次 Wick 冪的定義， 它卻無法將 Tab 及其它 Wick 冪定義爲一個擴展代數中的元素。 事實上， 在理論的 Hilbert 空間表示中， 上述方法只不過將 Tab 定義爲 Hadamard 態上的二次形而非算符值分佈， 因此不存在表示 Tab 可能取值的概率規則。 此外， 值得一提的是通過小距離奇異結構對 Hadamard 態的表徵使用起來極其繁瑣。 最後， 直至九十年代中期， 我們還遠不清楚如何進行在彎曲時空中定義編時乘積所需的複雜困難得多的重整化。
4. 九十年代中期以來的進展
在過去十年裏， 自由量子場可觀測量的代數被推廣到了含有所有的 Wick 多項式及編時乘積。 特別是， 相互作用量子場在彎曲時空中的微擾重整化現在已經因此而有了很好的嚴格定義。 這一進展很大一部分來自於將 “微局域分析” (microlocal analysis) 的重要方法引入到理論中。 大體上， 微局域分析提供了對分佈中的奇異性的細緻描述。 給定流形 M 上 p 點鄰域內的一個分佈 α， 我們可以對 α 乘上一個在 p 點的任意小鄰域內有支撐， 且 f(p)≠0 的光滑函數 f。 然後我們可以分析 fα 的 Fourier 變換的衰減性質 (其中 Fourier 變換可以通過爲 包含 fα 支撐的鄰域選擇一個任意 Euclidean 嵌入來定義)。 如果 α 在 p 點的某鄰域內光滑， 則對於支撐在該鄰域內的 f， fα 的 Fourier 變換在 Fourier 變換空間 k 中當 |k|→∞ 時將沿所有方向快速衰減。 因此， fα 的 Fourier 變換不快速衰減標識了 α 在 p 點的奇異行爲。 如果對所有的 f， fα 的 Fourier 變換沿方向 k 附近都不迅速衰減， 我們就說 (p, k) 在 α 的波前集 (wavefront set) WF(α) 中。 我們可以自然地將 WF(α) 與流形 M 的餘切叢對等起來 [譯者注： 這是因爲 k∈M， 而 Fourier 空間中的波矢 k 是餘切向量]。 因此波前集不僅標識了 M 中 α 奇異的點， 而且給出了 (餘切空間中的) 奇異方向。 這種分佈奇異性的細緻標識使我們能夠定義通常有問題的操作。 比方說， 如果 α 和 β 是分佈， 它們的乘積通常是沒有數學意義的。 但是， 假如凡 (p, k) 屬於 WF(α) 就有 (p, -k) 不屬於 WF(β)， 則乘積 αβ 可以通過 Fourier 卷積公式自然地定義。
通過給出諸如分佈的乘積何時能定義爲分佈的法則， 微局域分析提供了判斷正規化/重整化方案是否具有良好定義的極其有用的方法。 由於這種分析在本質上是完全局域的， 它提供了分析局域場可觀測量的理想工具。
微局域分析在彎曲時空量子場論中的第一個重要應用出現在 Wightman 的學生 Radzikowski 的博士論文中。 Radzikowski 試圖證明 Bernard Kay 提出的一個猜想： 如果量子態有一個小距離奇異性爲 Hadamard 形式的兩點函數， 則它在大距離下不會有任何額外的奇異性 (“局域 Hadamard 形式意味着全局 Hadamard 形式”)。 Radzikowski 使用了微局域分析工具來證明這一猜想。 特別是， 在他的分析過程中， 他證明了通過 ωH(φ(x)φ(y)) 局域奇異性的細緻結構來標識 Hadamard 態的繁瑣做法等價於有關該分佈的波前集的一個很簡單的條件， 即 WF[ωH(φ(x)φ(y))] 是包含了所有點 (x,y;k,l) 的 M×M 的餘切叢的子集， 這裏 x 和 y 由在 x 點處具有未來切向量 ka=gabkb 的類光測地線 γ 所連接， la 則與 ka 沿 γ 平行移動到 y 點處的切向量反向。
還有值得一提的是在微局域分析與彎曲時空量子場論之間有一個有趣的歷史互動。 在六十年代後期 Hormander 訪問了 Princeton 高等研究所， 並與 Wightman 有過交流。 Wightman 向 Hormander 解釋了什麼是 Minkowski 時空中的 Feynman 傳播子， 以及用波前集的性質對一般彎曲時空中 Feynman 參數的刻劃可以在 Duistermaat 和 Hormander 的經典論文中找到 [譯者注： 此處的 “Wightman 向 Hormander 解釋” 似應爲 “Hormander 向 Wightman 解釋”， 這樣才能與下文承接。 而且該解釋涉及到 Hormander 本人的論文， 從含義上講也不太可能反倒要 Wightman 來提及]。 而 Wightman 則意識到了微局域分析在表述彎曲時空量子場論時的可能用途。 比方說， 在 de Sitter 時空中不存在全局的類時 Killing 場， 從而沒有全局性的正能量。 因此， 人們看來無法象在 Minkowski 情形下要求能量正定那樣引入量子場的全局能譜條件 (global spectra condition)。 但是， 人們或許可以在局域量子場可觀測量上引入一個 “微局域能譜條件”。 與 Hormander 討論之後不久， Wightman 有一位學生 S. Fulling 對彎曲時空量子場論感興趣， 他建議 Fulling 研究微局域分析在彎曲時空量子場論中的可能應用。 但是， 在花費了一些氣力研究微局域分析後， Fulling 決定自己最好還是去幹點別的。 在 Fulling 隨後的畢業論文研究中有一個課題是不同量子化方案的不等價性。 特別是， 他論述了在 Minkowski 時空的 Rindler 楔形 (Rindler wedge) 中用 Lorentz boost Killing 場定義時間平移概念的量子化會給出與將普通 Minkowski 真空侷限在該區域不同的真空態。 這一工作爲上文提到的 Unruh 後來的分析奠定了數學基礎。 然而， Wightman 必須再等二十年纔有另一位學生對彎曲時空量子場論感興趣。 當 Radzikowski 開始用微局域分析方法來分析 Kay 的猜想時， 有充分思想準備的 Wightman 給了他大量的鼓勵。
在 Radzikowski 的工作之後， Fredenhagen 及其合作者清楚地意識到微局域分析能夠爲分析彎曲時空量子場論中的發散性提供所需的工具。 Brunetti， Fredenhagen 及 Kohler 證明了如果我們考慮一個任意 Hadamard 真空態 ω0 的 Fock 表示， 則正規乘積可以被用來在這一 Hilbert 空間上定義作爲算符值分佈的 Wick 多項式。 事實上， 用這種方法可以定義場可觀測量的一個更大 - 大到足以包含所有編時乘積 - 的代數 W。 Brunetti 和 Fredenhagen 還給出了應該加在編時乘積上的微局域能譜條件的表述。 但是， 如前面所述， 正規乘積方法無法給出 Wick 多項式的局域且協變的定義。 而且 Brunetti 等人給出的 W 的構造涉及到 Hadamard 真空態 ω0 的任意選擇。 不過， 可以證明 W 作爲抽象代數不依賴於 ω0 的選擇， 因而它是所需要的可觀測量擴展代數的有效候選者。 因此， 剩下的問題是確定 W 中哪些元素正確表述了 “真正的” Wick 多項式及編時乘積。
在 Wick 多項式及編時乘積的定義中要引進的一個關鍵條件是它們必須是局域且協變的場。 如上節所述， 這一條件曾被引入到能量動量期待值的定義中。 但是， 這一觀念在那裏的表述對於當前的目的來說是不夠的， 我們必須給出一個更普遍的表述。有了這些關鍵的想法及構造， 下面這些結果的證明成爲了可能： (1) 存在一個定義所有局域、 協變且滿足一系列合理附加性質 - 包括在度規的連續/解析變換下連續/解析及具有適當的標度行爲 - 的 Wick 多項式的完全確定的方法。 這一方法除了一些 “局域曲率歧義性” (local curvature ambiguity) 外是唯一的。 比如， 對於 Klein-Gordon 場 φ， 定義 φ2 的方法除了
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φ2 → φ2 + (c1R + c2m2)I |
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外是唯一的， 其中 c1， c2 是任意常數， R 爲曲率標量， I 表示 W 中的單位元。 對於 Minkowski 時空中的無質量場， 所有的歧義性都消失， 該方法與相對於普通 Minkowski 時空的正規乘積一致。 但在一般彎曲時空中， 定義 φ2 及其它 Wick 多項式的方法不同於任何一種真空態下的正規乘積。 (2) 存在一個定義所有局域、 協變、 滿足微局域能譜條件及一系列合理附加性質的編時乘積的方法。 這一方法除了與 Minkowski 分析所預期的同類型但附加了局域曲率歧義性的 “重整化歧義性” (renormalization ambiguities) 外是唯一的。 (3) 在 Minkowski 時空中可重整的理論在彎曲時空中仍是可重整的。 對於可重整理論， 重整化流可以通過量子場在時空度規的標度變換 gab→λ2gab 下的行爲來定義。 (4) 可以在編時乘積中附加重整化條件， 使得微擾理論對任意 (未必可重整) 的相互作用逐階滿足： (i) 相互作用場滿足經典運動方程。 (ii) 相互作用場的能量動量張量守恆。 所有上述結果都已在不求助於 “真空” 或 “粒子” 觀念的情況下得到了。
這些以及過去十年間的其它結果， 表明彎曲時空量子場論具有在深度上能與經典廣義相對論相比擬的數學結構。 特別不同尋常的是， 彎曲時空量子場論看上去是數學上自洽的。 儘管由於對引力的處理是經典的， 彎曲時空量子場論不可能是對自然的基礎描述， 但很難相信它不是在獲取有關自然的某些基本的性質。
上述結果足以在微擾論水平上定義彎曲時空量子場論。 不過， 如何給出彎曲時空中相互作用量子場的非微擾表述仍是一個尚未解決的問題。 我的希望是未來幾年中在這方面將會有顯著進展。