深度優先搜索(DFS)

深度優先搜索(DFS)

【算法入門】

郭志偉@SYSU：raphealguo(at)qq.com

2012/05/12

1.前言

深度優先搜索（縮寫DFS）有點類似廣度優先搜索，也是對一個連通圖進行遍歷的算法。它的思想是從一個頂點V0開始，沿着一條路一直走到底，如果發現不能到達目標解，那就返回到上一個節點，然後從另一條路開始走到底，這種儘量往深處走的概念即是深度優先的概念。

你可以跳過第二節先看第三節，:)

2.深度優先搜索VS廣度優先搜索

2.1演示深度優先搜索的過程

還是引用上篇文章的樣例圖，起點仍然是V0，我們修改一下題目意思，只需要讓你找出一條V0到V6的道路，而無需最短路。

圖2-1 尋找V0到V6的一條路（無需最短路徑）

假設按照以下的順序來搜索：

1.V0->V1->V4，此時到底盡頭，仍然到不了V6，於是原路返回到V1去搜索其他路徑；

2.返回到V1後既搜索V2，於是搜索路徑是V0->V1->V2->V6,，找到目標節點，返回有解。

這樣搜索只是2步就到達了，但是如果用BFS的話就需要多幾步。

2.2深度與廣度的比較

（你可以跳過這一節先看第三節，重點在第三節）

從上一篇《【算法入門】廣度/寬度優先搜索(BFS) 》中知道，我們搜索一個圖是按照樹的層次來搜索的。

我們假設一個節點衍生出來的相鄰節點平均的個數是N個，那麼當起點開始搜索的時候，隊列有一個節點，當起點拿出來後，把它相鄰的節點放進去，那麼隊列就有N個節點，當下一層的搜索中再加入元素到隊列的時候，節點數達到了N2，你可以想想，一旦N是一個比較大的數的時候，這個樹的層次又比較深，那這個隊列就得需要很大的內存空間了。

於是廣度優先搜索的缺點出來了：在樹的層次較深&子節點數較多的情況下，消耗內存十分嚴重。廣度優先搜索適用於節點的子節點數量不多，並且樹的層次不會太深的情況。

那麼深度優先就可以克服這個缺點，因爲每次搜的過程，每一層只需維護一個節點。但回過頭想想，廣度優先能夠找到最短路徑，那深度優先能否找到呢？深度優先的方法是一條路走到黑，那顯然無法知道這條路是不是最短的，所以你還得繼續走別的路去判斷是否是最短路？

於是深度優先搜索的缺點也出來了：難以尋找最優解，僅僅只能尋找有解。其優點就是內存消耗小，克服了剛剛說的廣度優先搜索的缺點。

3.深度優先搜索

3.1.舉例

給出如圖3-1所示的圖，求圖中的V0出發，是否存在一條路徑長度爲4的搜索路徑。

圖3-1

顯然，我們知道是有這樣一個解的：V0->V3->V5->V6。

3.2.處理過程

3.3.對應例子的僞代碼

這裏先給出上邊處理過程的對應僞代碼。

/**
 * DFS核心僞代碼
 * 前置條件是visit數組全部設置成false
 * @param n 當前開始搜索的節點
 * @param d 當前到達的深度，也即是路徑長度
 * @return 是否有解
 */
bool DFS(Node n, int d){
    if (d == 4){//路徑長度爲返回true，表示此次搜索有解
        return true;
    }

    for (Node nextNode in n){//遍歷跟節點n相鄰的節點nextNode，
        if (!visit[nextNode]){//未訪問過的節點才能繼續搜索

            //例如搜索到V1了，那麼V1要設置成已訪問
            visit[nextNode] = true;

            //接下來要從V1開始繼續訪問了，路徑長度當然要加

            if (DFS(nextNode, d+1)){//如果搜索出有解
                //例如到了V6，找到解了，你必須一層一層遞歸的告訴上層已經找到解
                return true;
            }

            //重新設置成未訪問，因爲它有可能出現在下一次搜索的別的路徑中
            visit[nextNode] = false;

        }
        //到這裏，發現本次搜索還沒找到解，那就要從當前節點的下一個節點開始搜索。
    }
    return false;//本次搜索無解
}

/**
 * DFS核心僞代碼
 * 前置條件是visit數組全部設置成false
 * @param n 當前開始搜索的節點
 * @param d 當前到達的深度，也即是路徑長度
 * @return 是否有解
 */
bool DFS(Node n, int d){
    if (d == 4){//路徑長度爲返回true，表示此次搜索有解
        return true;
    }

    for (Node nextNode in n){//遍歷跟節點n相鄰的節點nextNode，
        if (!visit[nextNode]){//未訪問過的節點才能繼續搜索

            //例如搜索到V1了，那麼V1要設置成已訪問
            visit[nextNode] = true;

            //接下來要從V1開始繼續訪問了，路徑長度當然要加

            if (DFS(nextNode, d+1)){//如果搜索出有解
                //例如到了V6，找到解了，你必須一層一層遞歸的告訴上層已經找到解
                return true;
            }

            //重新設置成未訪問，因爲它有可能出現在下一次搜索的別的路徑中
            visit[nextNode] = false;

        }
        //到這裏，發現本次搜索還沒找到解，那就要從當前節點的下一個節點開始搜索。
    }
    return false;//本次搜索無解
}

3.4.DFS函數的調用堆棧

此後堆棧調用返回到V0那一層，因爲V1那一層也找不到跟V1的相鄰未訪問節點

此後堆棧調用返回到V3那一層

此後堆棧調用返回到主函數調用DFS(V0,0)的地方，因爲已經找到解，無需再從別的節點去搜別的路徑了。

4.核心代碼

這裏先給出DFS的核心代碼。

/**
 * DFS核心僞代碼
 * 前置條件是visit數組全部設置成false
 * @param n 當前開始搜索的節點
 * @param d 當前到達的深度
 * @return 是否有解
 */
bool DFS(Node n, int d){
    if (isEnd(n, d)){//一旦搜索深度到達一個結束狀態，就返回true
        return true;
    }

    for (Node nextNode in n){//遍歷n相鄰的節點nextNode
        if (!visit[nextNode]){//
            visit[nextNode] = true;//在下一步搜索中，nextNode不能再次出現
            if (DFS(nextNode, d+1)){//如果搜索出有解
                //做些其他事情，例如記錄結果深度等
                return true;
            }

            //重新設置成false，因爲它有可能出現在下一次搜索的別的路徑中
            visit[nextNode] = false;
        }
    }
    return false;//本次搜索無解
}

/**
 * DFS核心僞代碼
 * 前置條件是visit數組全部設置成false
 * @param n 當前開始搜索的節點
 * @param d 當前到達的深度
 * @return 是否有解
 */
bool DFS(Node n, int d){
    if (isEnd(n, d)){//一旦搜索深度到達一個結束狀態，就返回true
        return true;
    }

    for (Node nextNode in n){//遍歷n相鄰的節點nextNode
        if (!visit[nextNode]){//
            visit[nextNode] = true;//在下一步搜索中，nextNode不能再次出現
            if (DFS(nextNode, d+1)){//如果搜索出有解
                //做些其他事情，例如記錄結果深度等
                return true;
            }

            //重新設置成false，因爲它有可能出現在下一次搜索的別的路徑中
            visit[nextNode] = false;
        }
    }
    return false;//本次搜索無解
}

當然了，這裏的visit數組不一定是必須的，在一會我給出的24點例子中，我們可以看到這點，這裏visit的存在只是爲了保證記錄節點不被重新訪問，也可以有其他方式來表達的，這裏只給出核心思想。

深度優先搜索的算法需要你對遞歸有一定的認識，重要的思想就是：抽象！

可以從DFS函數裏邊看到，DFS裏邊永遠只處理當前狀態節點n，而不去關注它的下一個狀態。

它通過把DFS方法抽象，整個邏輯就變得十分的清晰，這就是遞歸之美。

5.另一個例子：24點

5.1.題目描述

想必大家都玩過一個遊戲，叫做“24點”：給出4個整數，要求用加減乘除4個運算使其運算結果變成24，4個數字要不重複的用到計算中。

例如給出4個數：1、2、3、4。我可以用以下運算得到結果24：

1*2*3*4 = 24；2*3*4/1 = 24；(1+2+3)*4=24；……

如上，是有很多種組合方式使得他們變成24的，當然也有無法得到結果的4個數，例如：1、1、1、1。

現在我給你這樣4個數，你能告訴我它們能夠通過一定的運算組合之後變成24嗎？這裏我給出約束：數字之間的除法中不得出現小數，例如原本我們可以1/4=0.25，但是這裏的約束指定了這樣操作是不合法的。

5.2.解法：搜索樹

這裏爲了方便敘述，我假設現在只有3個數，只允許加法減法運算。我繪製瞭如圖5-1的搜索樹。

圖5-1

此處只有3個數並且只有加減法，所以第二層的節點最多就6個，如果是給你4個數並且有加減乘除，那麼第二層的節點就會比較多了，當延伸到第三層的時候節點數就比較多了，使用BFS的缺點就暴露了，需要很大的空間去維護那個隊列。而你看這個搜索樹，其實第一層是3個數，到了第二層就變成2個數了，也就是遞歸深度其實不會超過3層，所以採用DFS來做會更合理，平均效率要比BFS快（我沒寫代碼驗證過，讀者自行驗證）。

6.OJ題目

題目分類來自網絡：

sicily：1019 1024 1034 1050 1052 1153 1171 1187

pku：1088 1176 1321 1416 1564 1753 2492 3083 3411

7.總結

DFS適合此類題目：給定初始狀態跟目標狀態，要求判斷從初始狀態到目標狀態是否有解。

8.擴展

不知道你注意到沒，在深度/廣度搜索的過程中，其實相鄰節點的加入如果是有一定策略的話，對算法的效率是有很大影響的，你可以做一下簡單馬周遊跟馬周遊這兩個題，你就有所體會，你會發現你在搜索的過程中，用一定策略去訪問相鄰節點會提升很大的效率。

這些運用到的貪心的思想，你可以再看看啓發式搜索的算法，例如A*算法等。

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本文爲原創，轉載請註明出處：raphealguo@CSDN

作者：raphealguo(at)qq.com

時間：2012/05/12