1.鬆弛變量
現在我們已經把一個本來線性不可分的文本分類問題，通過映射到高維空間而變成了線性可分的。就像下圖這樣：
以我們人類的常識來判斷，說有一萬個點都符合某種規律（因而線性可分），有一個點不符合，那這一個點是否就代表了分類規則中我們沒有考慮到的方面呢（因而規則應該爲它而做出修改）？
其實我們會覺得，更有可能的是，這個樣本點壓根就是錯誤，是噪聲，是提供訓練集的同學人工分類時一打瞌睡錯放進去的。所以我們會簡單的忽略這個樣本點，仍然使用原來的分類器，其效果絲毫不受影響。
但這種對噪聲的容錯性是人的思維帶來的，我們的程序可沒有。由於我們原本的優化問題的表達式中，確實要考慮所有的樣本點（不能忽略某一個，因爲程序它怎麼知道該忽略哪一個呢？），在此基礎上尋找正負類之間的最大幾何間隔，而幾何間隔本身代表的是距離，是非負的，像上面這種有噪聲的情況會使得整個問題無解。這種解法其實也叫做“硬間隔”分類法，因爲他硬性的要求所有樣本點都滿足和分類平面間的距離必須大於某個值。
因此由上面的例子中也可以看出，硬間隔的分類法其結果容易受少數點的控制，這是很危險的（儘管有句話說真理總是掌握在少數人手中，但那不過是那一小撮人聊以自慰的詞句罷了，咱還是得民主）。
但解決方法也很明顯，就是仿照人的思路，允許一些點到分類平面的距離不滿足原先的要求。由於不同的訓練集各點的間距尺度不太一樣，因此用間隔（而不是幾何間隔）來衡量有利於我們表達形式的簡潔。我們原先對樣本點的要求是：
意思是說離分類面最近的樣本點函數間隔也要比1大。如果要引入容錯性，就給1這個硬性的閾值加一個鬆弛變量，即允許：
因爲鬆弛變量是非負的，因此最終的結果是要求間隔可以比1小。但是當某些點出現這種間隔比1小的情況時（這些點也叫離羣點），意味着我們放棄了對這些點的精確分類，而這對我們的分類器來說是種損失。但是放棄這些點也帶來了好處，那就是使分類面不必向這些點的方向移動，因而可以得到更大的幾何間隔（在低維空間看來，分類邊界也更平滑）。顯然我們必須權衡這種損失和好處。好處很明顯，我們得到的分類間隔越大，好處就越多。回顧我們原始的硬間隔分類對應的優化問題：
||w||^2就是我們的目標函數（當然係數可有可無），希望它越小越好，因而損失就必然是一個能使之變大的量（能使它變小就不叫損失了，我們本來就希望目標函數值越小越好）。那如何來衡量損失，有兩種常用的方式，有人喜歡用：
而有人喜歡用：
其中L都是樣本的數目。兩種方法沒有大的區別。如果選擇了第一種，得到的方法的就叫做二階軟間隔分類器，第二種就叫做一階軟間隔分類器。把損失加入到目標函數裏的時候，就需要一個懲罰因子（cost，也就是libSVM的諸多參數中的C），原來的優化問題就變成了下面這樣：
這個式子有這麼幾點要注意：
（1）並非所有的樣本點都有一個鬆弛變量與其對應。實際上只有“離羣點”纔有，或者也可以這麼看，所有沒離羣的點鬆弛變量都等於0（對負類來說，離羣點就是在前面圖中，跑到H2右側的那些負樣本點，對正類來說，就是跑到H1左側的那些正樣本點）。
（2）鬆弛變量的值實際上標示出了對應的點到底離羣有多遠，值越大，點就越遠。
（3）懲罰因子C決定了你有多重視離羣點帶來的損失，顯然當所有離羣點的鬆弛變量的和一定時，你定的C越大，對目標函數的損失也越大，此時就暗示着你非常不願意放棄這些離羣點，最極端的情況是你把C定爲無限大，這樣只要稍有一個點離羣，目標函數的值馬上變成無限大，馬上讓問題變成無解，這就退化成了硬間隔問題。
（4）懲罰因子C不是一個變量，整個優化問題在解的時候，C是一個你必須事先指定的值，指定這個值以後，解一下，得到一個分類器，然後用測試數據看看結果怎麼樣，如果不夠好，換一個C的值，再解一次優化問題，得到另一個分類器，再看看效果，如此就是一個參數尋優的過程，但這和優化問題本身決不是一回事，優化問題在解的過程中，C一直是定值，要記住。
（5）儘管加了鬆弛變量這麼一說，但這個優化問題仍然是一個優化問題（汗，這不廢話麼），解它的過程比起原始的硬間隔問題來說，沒有任何更加特殊的地方。
從大的方面說優化問題解的過程，就是先試着確定一下w，也就是確定了前面圖中的三條直線，這時看看間隔有多大，又有多少點離羣，把目標函數的值算一算，再換一組三條直線（你可以看到，分類的直線位置如果移動了，有些原來離羣的點會變得不再離羣，而有的本來不離羣的點會變成離羣點），再把目標函數的值算一算，如此往復（迭代），直到最終找到目標函數最小時的w。
囉嗦了這麼多，讀者一定可以馬上自己總結出來，鬆弛變量也就是個解決線性不可分問題的方法罷了，但是回想一下，核函數的引入不也是爲了解決線性不可分的問題麼？爲什麼要爲了一個問題使用兩種方法呢？
其實兩者還有微妙的不同。一般的過程應該是這樣，還以文本分類爲例。在原始的低維空間中，樣本相當的不可分，無論你怎麼找分類平面，總會有大量的離羣點，此時用核函數向高維空間映射一下，雖然結果仍然是不可分的，但比原始空間裏的要更加接近線性可分的狀態（就是達到了近似線性可分的狀態），此時再用鬆弛變量處理那些少數“冥頑不化”的離羣點，就簡單有效得多啦。
本節中的（式1）也確實是支持向量機最最常用的形式。至此一個比較完整的支持向量機框架就有了，簡單說來，支持向量機就是使用了核函數的軟間隔線性分類法。
2.懲罰因子
接下來要說的東西其實不是鬆弛變量本身，但由於是爲了使用鬆弛變量才引入的，因此放在這裏也算合適，那就是懲罰因子C。回頭看一眼引入了鬆弛變量以後的優化問題：
注意其中C的位置，也可以回想一下C所起的作用（表徵你有多麼重視離羣點，C越大越重視，越不想丟掉它們）。這個式子是以前做SVM的人寫的，大家也就這麼用，但沒有任何規定說必須對所有的鬆弛變量都使用同一個懲罰因子，我們完全可以給每一個離羣點都使用不同的C，這時就意味着你對每個樣本的重視程度都不一樣，有些樣本丟了也就丟了，錯了也就錯了，這些就給一個比較小的C；而有些樣本很重要，決不能分類錯誤（比如中央下達的文件啥的，笑），就給一個很大的C。
當然實際使用的時候並沒有這麼極端，但一種很常用的變形可以用來解決分類問題中樣本的“偏斜”問題。
先來說說樣本的偏斜問題，也叫數據集偏斜（unbalanced），它指的是參與分類的兩個類別（也可以指多個類別）樣本數量差異很大。比如說正類有10，000個樣本，而負類只給了100個，這會引起的問題顯而易見，可以看看下面的圖：
方形的點是負類。H，H1，H2是根據給的樣本算出來的分類面，由於負類的樣本很少很少，所以有一些本來是負類的樣本點沒有提供，比如圖中兩個灰色的方形點，如果這兩個點有提供的話，那算出來的分類面應該是H’，H2’和H1，他們顯然和之前的結果有出入，實際上負類給的樣本點越多，就越容易出現在灰色點附近的點，我們算出的結果也就越接近於真實的分類面。但現在由於偏斜的現象存在，使得數量多的正類可以把分類面向負類的方向“推”，因而影響了結果的準確性。
對付數據集偏斜問題的方法之一就是在懲罰因子上作文章，想必大家也猜到了，那就是給樣本數量少的負類更大的懲罰因子，表示我們重視這部分樣本（本來數量就少，再拋棄一些，那人家負類還活不活了），因此我們的目標函數中因鬆弛變量而損失的部分就變成了：
其中i=1…p都是正樣本，j=p+1…p+q都是負樣本。libSVM這個算法包在解決偏斜問題的時候用的就是這種方法。
那C+和C-怎麼確定呢？它們的大小是試出來的（參數調優），但是他們的比例可以有些方法來確定。咱們先假定說C+是5這麼大，那確定C-的一個很直觀的方法就是使用兩類樣本數的比來算，對應到剛纔舉的例子，C-就可以定爲500這麼大（因爲10，000：100=100：1嘛）。
但是這樣並不夠好，回看剛纔的圖，你會發現正類之所以可以“欺負”負類，其實並不是因爲負類樣本少，真實的原因是負類的樣本分佈的不夠廣（沒擴充到負類本應該有的區域）。說一個具體點的例子，現在想給政治類和體育類的文章做分類，政治類文章很多，而體育類只提供了幾篇關於籃球的文章，這時分類會明顯偏向於政治類，如果要給體育類文章增加樣本，但增加的樣本仍然全都是關於籃球的（也就是說，沒有足球，排球，賽車，游泳等等），那結果會怎樣呢？雖然體育類文章在數量上可以達到與政治類一樣多，但過於集中了，結果仍會偏向於政治類！所以給C+和C-確定比例更好的方法應該是衡量他們分佈的程度。比如可以算算他們在空間中佔據了多大的體積，例如給負類找一個超球——就是高維空間裏的球啦——它可以包含所有負類的樣本，再給正類找一個，比比兩個球的半徑，就可以大致確定分佈的情況。顯然半徑大的分佈就比較廣，就給小一點的懲罰因子。
但是這樣還不夠好，因爲有的類別樣本確實很集中，這不是提供的樣本數量多少的問題，這是類別本身的特徵（就是某些話題涉及的面很窄，例如計算機類的文章就明顯不如文化類的文章那麼“天馬行空”），這個時候即便超球的半徑差異很大，也不應該賦予兩個類別不同的懲罰因子。
看到這裏讀者一定瘋了，因爲說來說去，這豈不成了一個解決不了的問題？然而事實如此，完全的方法是沒有的，根據需要，選擇實現簡單又合用的就好（例如libSVM就直接使用樣本數量的比）。
轉載自：
1.http://www.blogjava.net/zhenandaci/archive/2009/03/15/259786.html
2.http://www.blogjava.net/zhenandaci/archive/2009/03/17/260315.html