DDA算法和Bresenham算法是計算機圖形學中繪製直線的兩種常用算法。本文具體介紹一下DDA算法和Bresenham算法實現的具體思路。DDA算法主要是根據直線公式y = kx + b來推導出來的，其關鍵之處在於如何設定單位步進，即一個方向的步進爲單位步進，另一個方向的步進必然是小於1。算法的具體思路如下：
1. 輸入直線的起點、終點；
2. 計算x方向的間距：△X和y方向的間距：△Y。
3. 確定單位步進，取MaxSteps = max（△X，△Y）; 若△X>=△Y，則X方向的步進爲單位步進，X方向步進一個單位，Y方向步進△Y/MaxSteps;否則相反。
4. 設置第一個點的像素值
5. 令循環初始值爲1，循環次數爲MaxSteps，定義變量x,y，執行以下計算：
a. x增加一個單位步進，y增加一個單位步進
b. 設置位置爲（x,y）的像素值
具體實現代碼如下：
- //@brief 浮點數轉整數的宏
- #define FloatToInteger(fNum) ((fNum>0)?static_cast<int>(fNum+0.5):static_cast<int>(fNum-0.5))
- /*!
- * @brief DDA畫線函數
- *
- * @param pDC [in]窗口DC
- * @param BeginPt [in]直線起點
- * @param EndPt [in]直線終點
- * @param LineCor [in]直線顏色
- * @return 無
- */
- void CDrawMsg::DDA_DrawLine(CDC *pDC,CPoint &BeginPt,CPoint &EndPt,COLORREF LineCor)
- {
- long YDis = (EndPt.y - BeginPt.y);
- long XDis = (EndPt.x-BeginPt.x);
- long MaxStep = max(abs(XDis),abs(YDis)); // 步進的步數
- float fXUnitLen = 1.0f; // X方向的單位步進
- float fYUnitLen = 1.0f; // Y方向的單位步進
- fYUnitLen = static_cast<float>(YDis)/static_cast<float>(MaxStep);
- fXUnitLen = static_cast<float>(XDis)/static_cast<float>(MaxStep);
- // 設置起點像素顏色
- pDC->SetPixel(BeginPt.x,BeginPt.y,LineCor);
- float x = static_cast<float>(BeginPt.x);
- float y = static_cast<float>(BeginPt.y);
- // 循環步進
- for (long i = 1;i<=MaxStep;i++)
- {
- x = x + fXUnitLen;
- y = y + fYUnitLen;
- pDC->SetPixel(FloatToInteger(x),FloatToInteger(y),LineCor);
- }
- }
Bresenham算法是DDA算法畫線算法的一種改進算法。本質上它也是採取了步進的思想。不過它比DDA算法作了優化，避免了步進時浮點數運算，同時爲選取符合直線方程的點提供了一個好思路。首先通過直線的斜率確定了在x方向進行單位步進還是y方向進行單位步進：當斜率k的絕對值|k|<1時，在x方向進行單位步進；當斜率k的絕對值|k|>1時，在y方向進行單位步進。
下面以|k|<1時推導Bresenham算法的數學依據：
請看上圖，已知有一直線y = kx+b，|k|<1。我們通過斜率確定了x方向爲單位步進。當x = Xm時，y = Ym。那麼當x 執行一個單位步進時（即x = Xm+1時）,y等於Ym還是等於Ym+1更符合這個直線方程呢？單憑肉眼我們很難得出結論，最好的辦法當然是比較Ym和Ym+1和真實的方程的y值的差是多少（即Yreal = k*(Xm+1)+b），看看哪一個更靠近真實的方程的y值。
我們設
Dupper = Ym+1 - Yreal = Ym+1 - k*(Xm+1)+b）; 表示Ym+1和方程真實值的差
Ddown = Yreal - Ym = k*(Xm+1)+b）- Ym; 表示Ym和方程真實值的差
那就是我們要比較Dupper和Ddown的大小。假設
Diff = Dupper - Ddown = （Ym+1 - k*(Xm+1)+b）） - （k*(Xm+1)+b）- Ym）
令△X 爲線段x方向的間距，△Y 爲線段y方向的間距。
Pm = △X* Diff = 2*△X* Ym-2*△Y* Xm-2*△Y-△X*（2b-1）；
那麼Pm+1 = Pm+2*△X*（Ym+1- Ym）-2*△Y；
其中Ym+1- Ym取0還是1，取決於Pm的符號。
根據等式Diff = Dupper - Ddown = （Ym+1 - k*(Xm+1)+b）） - （k*(Xm+1)+b）- Ym）以及k = △Y/△X，我們可以得出起始像素（x0,y0）的參數p0的值：
P0 =△X-2*△Y；
同理我們推出|k|>1的情況，Qm = 2*Xm*△Y-2*Ym*△X+（2b-2）*△X+△Y；
Qm+1 = Qm+2*（Xm+1-Xm）*△Y-2*△X；
其中Xm+1-Xm等於0還是1，取決於Qm的符號
其中第一個參數Q0 = △Y-2*△X；
明白了數學原理，我們很快能確定算法步驟：
1. 輸入線段的起點和終點。
2. 判斷線段的斜率是否存在（即起點和終點的x座標是否相同），若相同，即斜率不存在，
只需計算y方向的單位步進（△Y+1次），x方向的座標保持不變即可繪製直線。
3. 計算線段的斜率k，分爲下面幾種情況處理
a. k等於0，即線段平行於x軸，即程序只需計算x方向的單位步進，y方向的值不變
b. |k|等於1，即線段的x方向的單位步進和y方向的單位步進一樣，皆爲1。直接循環△X次計算x和y座標。
4. 根據輸入的起點和終點的x、y座標值的大小決定x方向和y方向的單位步進是1還是-1
6. 畫出第一個點。
7. 若|k| <1，設m =0,計算P0，如果Pm>0，下一個要繪製的點爲（Xm+單位步進，Ym），
Pm+1 = Pm -2*△Y;
否則要繪製的點爲（Xm+單位步進，Ym+單位步進）
Pm+1 = Pm+2*△X-2*△Y；
8. 重複執行第七步△X-1次；
9. 若|k| >1，設m =0,計算Q0，如果Qm>0，下一個要繪製的點爲（Xm，Ym+單位步進），
Pm+1 = Pm -2*△X;
否則要繪製的點爲（Xm+單位步進，Ym+單位步進）
Pm+1 = Pm+2*△Y-2*△X；
10. 重複執行第9步△Y-1次；
參考文獻：
1. 計算機圖形學，作者: (美國)Donald Hearn(美國)M.Pauline Baker 譯者: 蔡士傑，宋繼強，蔡敏