剑指Offer #06 旋转数组的最小数字（二分查找）| 图文详解

题目来源：牛客网-剑指Offer专题
题目地址：旋转数组的最小数字

题目描述

把一个数组最开始的若干个元素搬到数组的末尾，我们称之为数组的旋转。
输入一个非递减排序的数组的一个旋转，输出旋转数组的最小元素。
例如数组{3,4,5,1,2}为{1,2,3,4,5}的一个旋转，该数组的最小值为1。
NOTE：给出的所有元素都大于0，若数组大小为0，请返回0。

题目解析

方法一：
最直观的方法莫过于漠视题目给的条件“非递减排序”，直接遍历整个数组找到里面最小的元素。就算我很菜，也不忍下手写这样的代码。

于是，对暴力法稍加优化才有了第一种算法：以第一个元素 $array[0]$ 为基准找到第一个比它小的元素，这个就是原数组的第一个元素，即最小值。找不到则返回第一个元素，说明没有元素参与旋转。
虽然做了优化，在极端情况下还是要遍历整个数组，时间复杂度 $O(n)$。

import java.util.ArrayList;
public class Solution {
    public int minNumberInRotateArray(int [] array) {
    	//特判
        if (array.length == 0) {
            return 0;
        }
        //以第一个元素为基准
        int flag = array[0];
        for (int i = 1; i < array.length; i++) {
        	//找到第一个比它小的元素，即为答案
            if (flag > array[i]) {
                return array[i];
            }
        }
        return flag;
    }
}

方法二：
通常在有序的序列中查找某个值的问题都可以用二分查找，本题虽然不是整个序列又是有序的，但是它也算是局部有序，也可以用上二分查找。

经过观察我们可以发现，旋转数组可以分成左右两个部分，而我们要找的数就在分界线的右边。算法描述如下：

• 首先，我们设定左右指针 $left$ 和 $right$ ，然后通过判断中间指针 $mid$ 指向的数是否比 $right$ 指向的数小。
• 如果是，则说明 $mid$ 位于数组右边部分，于是将 $right$ 指针移动到该位置上；否则，说明 $mid$ 位于数组左边部分，于是将指针移动到该位置上。
• 最后不断重复上诉过程，直到找到数组两个部分的边界所在，即 $right-left=1$。这时，$array[right]$ 就是我们要找的最小值。
  

二分查找的过程如上图所示 ，算法时间复杂度为 $O(logn)$。

import java.util.ArrayList;
public class Solution {
    public int minNumberInRotateArray(int [] array) {
        if (array.length == 0) {
            return 0;
        }
        int left = 0, right = array.length - 1;
        while (array[left] >= array[right]) {
            int mid = (left + right) / 2;
            //找到边界所在
            if (right - left == 1) break;
            if (array[mid] < array[right]) {
                right= mid;
            } else {
                left= mid;
            }
        }
        return array[right];
    }
}

虽然这样在牛客网中通过了，但是我发现了一组可以hack这份代码的数据：
$[3,4,1,3,3,3,3]$
正确答案： $1$
代码返回： $3$

方法三：
有问题就肯定会有对策，这里借用牛客网大佬FINACK的思路。

分下面三种情况进行讨论：

1. array[mid] > array[right]时，
   出现这种情况的array类似[3,4,5,6,0,1,2]，此时最小数字一定在mid的右边。
   $\therefore$ left = mid + 1
2. array[mid] == array[right]时，
   出现这种情况的array类似 [1,0,1,1,1] 或者[1,1,1,0,1]，此时最小数字不好判断在mid左边还是右边，这时只好逐个尝试。
   $\therefore$ right = right - 1
3. array[mid] < array[right]:
   出现这种情况的array类似[2,2,3,4,5,6,6]，此时最小数字一定就是array[mid]或者在mid的左边。因为右边必然都是递增的。
   $\therefore$ right = mid

注意这里有个坑：如果待查询的范围最后只剩两个数，那么mid 一定会指向下标靠前的数字，比如 array = [4,6]，此时array[left] = 4 ；array[mid] = 4；array[right] = 6；如果right = mid - 1，就会产生错误， 因此right = mid。

import java.util.ArrayList;
public class Solution {
    public int minNumberInRotateArray(int [] array) {
        if (array.length == 0) {
            return 0;
        }
        int left = 0, right = array.length - 1;
        while (left < right) {
            int mid = (left + right) / 2;
            if (array[mid] > array[right]) {
                left = mid + 1;
            } else if (array[mid] == array[right]) {
                right--;
            } else {
                right = mid;
            }
        }
        return array[left];
    }
}

只是可惜，在所有数字都一样的情况下，算法的时间复杂度会退化成 $O(n)$。当然，这是没有办法的事情。

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