圖像的邊緣檢測

圖像的邊緣檢測是使用數學方法提取圖像像元中具有亮度值（灰度）空間方向梯度大的邊、線特徵的過程。

邊緣可以大致分爲兩種：階躍狀邊緣；屋頂狀邊緣。

1、一階微分算子

一階微分邊緣算子也稱爲梯度邊緣算子，它是利用圖像在邊緣處的階躍性，即圖像梯度在邊緣取得極大值的特性進行邊緣檢測。梯度是一個矢量，具有方向和模值，模值提供了邊緣的強度信息，方向提供了邊緣的趨勢信息。
$\begin{array}{l} {\Delta I=\left(\begin{array}{c} {\frac{\partial I}{\partial x}} \\ {\frac{\partial I}{\partial y}} \end{array}\right)} \\ {\Delta I |=\sqrt{\left(\frac{\partial I}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial I}{\partial y}\right)^{2}}=\sqrt{I_{x}^{2}+I_{y}^{2}}} \\ {\theta=\arctan \left(I_{y} / I_{x}\right)} \end{array}$
傅里葉變換和梯度之間的關係：實際上對圖像進行二維傅里葉變換得到的頻譜圖就是圖像梯度的分佈圖。在傅里葉頻譜圖上看到的明暗不一的亮點，實際上是圖像上某一點與鄰域點差異的強弱，即梯度的大小，也即該點的頻率大小（可以這麼理解，圖像中的低頻部分指低梯度的點，高頻部分相反）。一般來講，梯度大則該點的亮度強，否則該點亮度弱。
此外，在MATLAB中也提供了相關的圖像邊緣檢測的函數，其調用格式如下：（其中，I是輸入的灰度圖像，thresh是閥值，direction是方向）

BW=edge（I，'sobel'，thresh，direction）
BW=edge（I，'prewitt'，thresh，direction）
BW=edge（I，'roberts'，thresh）
BW=edge（I，'log'，thresh）%LoG算法

一階邊緣檢測算子具有實現簡單、運算速度快等特點，但受噪聲的影響很大，不能準確地確定邊緣的位置，造成這種情況的原因主要有：實際邊緣灰度與理想邊緣灰度值間存在差異，可能檢測出多個邊緣；算子尺度固定不利於檢測出不同尺度的邊緣。

二階微分邊緣檢測算子是利用圖像在邊緣處的階躍性導致圖像二階微分在邊緣處出現零值這一特性進行邊緣檢測的，因此，該方法也稱爲過零點算子和拉普拉斯算子。
$\begin{array}{c} {\nabla^{2} I=\frac{\partial^{2} I}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} I}{\partial y^{2}}} \\ {\frac{\partial^{2} I}{\partial x^{2}}=I(i, j+1)-2(i, j)+I(i, j-1)} \\ {\frac{\partial^{2} I}{\partial y^{2}}=I(i, j+1)-2(i, j)+I(i-1, j)} \end{array}$
二階微分算子檢測邊緣的方法簡單，但它的缺點是對噪聲十分敏感，同時也不能提供邊緣的方向信息。爲了實現對噪聲的抑制，Marr等提出了高斯拉普拉斯（Laplacian of Gaussian，LoG）的方法。
利用LoG算子進行邊緣檢測：①採用高斯函數作爲低通濾波器濾波；②對得到的圖像進行過零檢測；③按照規則判斷邊緣點。
基於LoG算子的邊緣提取的結果要優於Roberts算子和Sobel算子，特別是邊緣比較完整，位置比較精確，抗噪聲能力也較好。

邊緣檢測算子應該只對邊緣進行響應，檢測算子不漏檢任何邊緣，也不應將非邊緣標記爲邊緣。

精確的定位。檢測到的邊緣與實際邊緣之間的距離要儘可能小。

明確的響應。對每一條邊緣只有一次響應，只得到一個點。

利用Canny算子進行邊緣提取主要分4步進行：①去噪聲，使用高斯函數進行平滑濾波；②計算梯度值和方向角；③非最大值抑制；④滯後閾值化
Canny算子採用了高斯函數對圖像進行平滑處理，因此，具有較強的噪聲抑制能力；同樣，該算子也將一些高頻邊緣平滑掉，易造成邊緣丟失。Canny算子採用了雙閾值算法檢測和連接邊緣，邊緣的連續性較好。

SUSAN稱爲最小核值相似區，是Smallest Univalue Segment Assimilating Nucleus的縮寫，SUSAN使用一個原型模板和一個圓的中心點，通過圓中心點像元值與模板圓內其他像元值的比較，統計出與圓中心點像元值近似的像元數量，並與所設定的閥值進行比較，以確定是否是邊緣。門限g通常取5*5或者37
基於SUSAN算子的邊緣檢測有如下優良性能：①抗噪聲能力好；②算法使用靈活；③運算量小，速度快；④可以檢測邊緣的方向信息。

小波變換的優點是在時域和頻域都有良好的局部特性，這一點可以用來進行圖像的邊緣檢測。小波變換在時空域中分辨率隨頻率的高低而相應調節：低頻粗疏、高頻精細，它具有可以聚焦到被測對象任意細節上的特點。
基於小波變換模極大值的邊緣檢測的具體實現步驟：①對於原始圖像進行二進離散平穩小波變換；②通過變換系數，得到圖像的水平方向和垂直方向的小波變換系數；③求局部模極大值。

形態邊緣檢測器主要利用形態梯度的概念，雖然對噪聲也比較敏感，但不會加強或放大噪聲。
單尺度形態學梯度定義爲下式，式中， $f$ 爲原始圖像， $g$ 爲結構元素。 $f \oplus g$ 表示利用結構元素對輸入圖像 $g$ 進行膨脹, $f \Theta g$ 表示利用結構元素 $g$ 對輸入圖像 $f$ 進行腐蝕。
$\operatorname{Grad}[f(x)]=(f \oplus g)-(f \Theta g)$
單尺度形態學梯度算子的性能取決於結構元素g的大小。如果g足夠大，則對斜坡邊緣來說，這個梯度算子的輸出等於邊緣高度。大的機構元素會造成邊緣間嚴重地相互影響，這將導致梯度極大值與邊緣不一致；然而，若結構元素過小，則梯度算子雖有高的分辨率，但對斜坡邊緣會產生一個很小的輸出結果。
多尺度梯度
$\mathrm{MG}(f)=\frac{1}{n} \times \sum_{i=0}^{n}\left[\left(\left(f \oplus B_{i}\right)-\left(f \Theta B_{i}\right)\right) \Theta B_{i-1}\right]$