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這是好久之前的一篇文章「學習數據結構和算法的框架思維」的修訂版。之前那篇文章收到廣泛好評，沒看過也沒關係，這篇文章會涵蓋之前的所有內容，並且會舉很多代碼的實例，教你如何使用框架思維。
首先，這裏講的都是普通的數據結構，咱不是搞算法競賽的，野路子出生，我只會解決常規的問題。另外，以下是我個人的經驗的總結，沒有哪本算法書會寫這些東西，所以請讀者試着理解我的角度，別糾結於細節問題，因爲這篇文章就是希望對數據結構和算法建立一個框架性的認識。
從整體到細節，自頂向下，從抽象到具體的框架思維是通用的，不只是學習數據結構和算法，學習其他任何知識都是高效的。
一、數據結構的存儲方式
數據結構的存儲方式只有兩種：數組（順序存儲）和鏈表（鏈式存儲）。
這句話怎麼理解，不是還有散列表、棧、隊列、堆、樹、圖等等各種數據結構嗎？
我們分析問題，一定要有遞歸的思想，自頂向下，從抽象到具體。你上來就列出這麼多，那些都屬於「上層建築」，而數組和鏈表纔是「結構基礎」。因爲那些多樣化的數據結構，究其源頭，都是在鏈表或者數組上的特殊操作，API 不同而已。
比如說「隊列」、「棧」這兩種數據結構既可以使用鏈表也可以使用數組實現。用數組實現，就要處理擴容縮容的問題；用鏈表實現，沒有這個問題，但需要更多的內存空間存儲節點指針。
「圖」的兩種表示方法，鄰接表就是鏈表，鄰接矩陣就是二維數組。鄰接矩陣判斷連通性迅速，並可以進行矩陣運算解決一些問題，但是如果圖比較稀疏的話很耗費空間。鄰接表比較節省空間，但是很多操作的效率上肯定比不過鄰接矩陣。
「散列表」就是通過散列函數把鍵映射到一個大數組裏。而且對於解決散列衝突的方法，拉鍊法需要鏈表特性，操作簡單，但需要額外的空間存儲指針；線性探查法就需要數組特性，以便連續尋址，不需要指針的存儲空間，但操作稍微複雜些。
「樹」，用數組實現就是「堆」，因爲「堆」是一個完全二叉樹，用數組存儲不需要節點指針，操作也比較簡單；用鏈表實現就是很常見的那種「樹」，因爲不一定是完全二叉樹，所以不適合用數組存儲。爲此，在這種鏈表「樹」結構之上，又衍生出各種巧妙的設計，比如二叉搜索樹、AVL 樹、紅黑樹、區間樹、B 樹等等，以應對不同的問題。
瞭解 Redis 數據庫的朋友可能也知道，Redis 提供列表、字符串、集合等等幾種常用數據結構，但是對於每種數據結構，底層的存儲方式都至少有兩種，以便於根據存儲數據的實際情況使用合適的存儲方式。
綜上，數據結構種類很多，甚至你也可以發明自己的數據結構，但是底層存儲無非數組或者鏈表，二者的優缺點如下：
數組由於是緊湊連續存儲,可以隨機訪問，通過索引快速找到對應元素，而且相對節約存儲空間。但正因爲連續存儲，內存空間必須一次性分配夠，所以說數組如果要擴容，需要重新分配一塊更大的空間，再把數據全部複製過去，時間複雜度 O(N)；而且你如果想在數組中間進行插入和刪除，每次必須搬移後面的所有數據以保持連續，時間複雜度 O(N)。
鏈表因爲元素不連續，而是靠指針指向下一個元素的位置，所以不存在數組的擴容問題；如果知道某一元素的前驅和後驅，操作指針即可刪除該元素或者插入新元素，時間複雜度 O(1)。但是正因爲存儲空間不連續，你無法根據一個索引算出對應元素的地址，所以不能隨機訪問；而且由於每個元素必須存儲指向前後元素位置的指針，會消耗相對更多的儲存空間。
二、數據結構的基本操作
對於任何數據結構，其基本操作無非遍歷 + 訪問，再具體一點就是：增刪查改。
數據結構種類很多，但它們存在的目的都是在不同的應用場景，儘可能高效地增刪查改。話說這不就是數據結構的使命麼？
如何遍歷 + 訪問？我們仍然從最高層來看，各種數據結構的遍歷 + 訪問無非兩種形式：線性的和非線性的。
線性就是 for/while 迭代爲代表，非線性就是遞歸爲代表。再具體一步，無非以下幾種框架：
數組遍歷框架，典型的線性迭代結構：
void traverse(int[] arr) {
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
// 迭代訪問 arr[i]
}
}
鏈表遍歷框架，兼具迭代和遞歸結構：
/* 基本的單鏈表節點 */
class ListNode {
int val;
ListNode next;
}
void traverse(ListNode head) {
for (ListNode p = head; p != null; p = p.next) {
// 迭代訪問 p.val
}
}
void traverse(ListNode head) {
// 遞歸訪問 head.val
traverse(head.next)
}
二叉樹遍歷框架，典型的非線性遞歸遍歷結構：
/* 基本的二叉樹節點 */
class TreeNode {
int val;
TreeNode left, right;
}
void traverse(TreeNode root) {
traverse(root.left)
traverse(root.right)
}
你看二叉樹的遞歸遍歷方式和鏈表的遞歸遍歷方式，相似不？再看看二叉樹結構和單鏈表結構，相似不？如果再多幾條叉，N 叉樹你會不會遍歷？
二叉樹框架可以擴展爲 N 叉樹的遍歷框架：
/* 基本的 N 叉樹節點 */
class TreeNode {
int val;
TreeNode[] children;
}
void traverse(TreeNode root) {
for (TreeNode child : root.children)
traverse(child)
}
N 叉樹的遍歷又可以擴展爲圖的遍歷，因爲圖就是好幾 N 叉棵樹的結合體。你說圖是可能出現環的？這個很好辦，用個布爾數組 visited 做標記就行了，這裏就不寫代碼了。
所謂框架，就是套路。不管增刪查改，這些代碼都是永遠無法脫離的結構，你可以把這個結構作爲大綱，根據具體問題在框架上添加代碼就行了，下面會具體舉例。
三、算法刷題指南
首先要明確的是，數據結構是工具，算法是通過合適的工具解決特定問題的方法。也就是說，學習算法之前，最起碼得了解那些常用的數據結構，瞭解它們的特性和缺陷。
那麼該如何在 LeetCode 刷題呢？之前的文章算法學習之路寫過一些，什麼按標籤刷，堅持下去云云。現在距那篇文章已經過去將近一年了，我不說那些不痛不癢的話，直接說具體的建議：
先刷二叉樹，先刷二叉樹，先刷二叉樹！
這是我這刷題一年的親身體會，下圖是去年十月份的提交截圖：
公衆號文章的閱讀數據顯示，大部分人對數據結構相關的算法文章不感興趣，而是更關心動規回溯分治等等技巧。爲什麼要先刷二叉樹呢，因爲二叉樹是最容易培養框架思維的，而且大部分算法技巧，本質上都是樹的遍歷問題。
刷二叉樹看到題目沒思路？根據很多讀者的問題，其實大家不是沒思路，只是沒有理解我們說的「框架」是什麼。不要小看這幾行破代碼，幾乎所有二叉樹的題目都是一套這個框架就出來了。
void traverse(TreeNode root) {
// 前序遍歷
traverse(root.left)
// 中序遍歷
traverse(root.right)
// 後序遍歷
}
比如說我隨便拿幾道題的解法出來，不用管具體的代碼邏輯，只要看看框架在其中是如何發揮作用的就行。
LeetCode 124 題，難度 Hard，讓你求二叉樹中最大路徑和，主要代碼如下：
int ans = INT_MIN;
int oneSideMax(TreeNode* root) {
if (root == nullptr) return 0;
int left = max(0, oneSideMax(root->left));
int right = max(0, oneSideMax(root->right));
ans = max(ans, left + right + root->val);
return max(left, right) + root->val;
}
你看，這就是個後序遍歷嘛。
LeetCode 105 題，難度 Medium，讓你根據前序遍歷和中序遍歷的結果還原一棵二叉樹，很經典的問題吧，主要代碼如下：
TreeNode buildTree(int[] preorder, int preStart, int preEnd,
int[] inorder, int inStart, int inEnd, Map<Integer, Integer> inMap) {
if(preStart > preEnd || inStart > inEnd) return null;
TreeNode root = new TreeNode(preorder[preStart]);
int inRoot = inMap.get(root.val);
int numsLeft = inRoot - inStart;
root.left = buildTree(preorder, preStart + 1, preStart + numsLeft,
inorder, inStart, inRoot - 1, inMap);
root.right = buildTree(preorder, preStart + numsLeft + 1, preEnd,
inorder, inRoot + 1, inEnd, inMap);
return root;
}
不要看這個函數的參數很多，只是爲了控制數組索引而已，本質上該算法也就是一個前序遍歷。
LeetCode 99 題，難度 Hard，恢復一棵 BST，主要代碼如下：
void traverse(TreeNode* node) {
if (!node) return;
traverse(node->left);
if (node->val < prev->val) {
s = (s == NULL) ? prev : s;
t = node;
}
prev = node;
traverse(node->right);
}
這不就是個中序遍歷嘛，對於一棵 BST 中序遍歷意味着什麼，應該不需要解釋了吧。
你看，Hard 難度的題目不過如此，而且還這麼有規律可循，只要把框架寫出來，然後往相應的位置加東西就行了，這不就是思路嗎。
對於一個理解二叉樹的人來說，刷一道二叉樹的題目花不了多長時間。那麼如果你對刷題無從下手或者有畏懼心理，不妨從二叉樹下手，前 10 道也許有點難受；結合框架再做 20 道，也許你就有點自己的理解了；刷完整個專題，再去做什麼回溯動規分治專題，你就會發現只要涉及遞歸的問題，都是樹的問題。
再舉例吧，說幾道我們之前文章寫過的問題。
動態規劃詳解說過湊零錢問題，暴力解法就是遍歷一棵 N 叉樹：
def coinChange(coins: List[int], amount: int):
def dp(n):
if n == 0: return 0
if n < 0: return -1
res = float('INF')
for coin in coins:
subproblem = dp(n - coin)
# 子問題無解，跳過
if subproblem == -1: continue
res = min(res, 1 + subproblem)
return res if res != float('INF') else -1
return dp(amount)
這麼多代碼看不懂咋辦？直接提取出框架，就能看出核心思路了：
# 不過是一個 N 叉樹的遍歷問題而已
def dp(n):
for coin in coins:
dp(n - coin)
其實很多動態規劃問題就是在遍歷一棵樹，你如果對樹的遍歷操作爛熟於心，起碼知道怎麼把思路轉化成代碼，也知道如何提取別人解法的核心思路。
再看看回溯算法，前文回溯算法詳解乾脆直接說了，回溯算法就是個 N 叉樹的前後序遍歷問題，沒有例外。
比如 N 皇后問題吧，主要代碼如下：
void backtrack(int[] nums, LinkedList<Integer> track) {
if (track.size() == nums.length) {
res.add(new LinkedList(track));
return;
}
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
if (track.contains(nums[i]))
continue;
track.add(nums[i]);
// 進入下一層決策樹
backtrack(nums, track);
track.removeLast();
}
/* 提取出 N 叉樹遍歷框架 */
void backtrack(int[] nums, LinkedList<Integer> track) {
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
backtrack(nums, track);
}
N 叉樹的遍歷框架，找出來了把～你說，樹這種結構重不重要？
綜上，對於畏懼算法的朋友來說，可以先刷樹的相關題目，試着從框架上看問題，而不要糾結於細節問題。
糾結細節問題，就比如糾結 i 到底應該加到 n 還是加到 n - 1，這個數組的大小到底應該開 n 還是 n + 1 ？
從框架上看問題，就是像我們這樣基於框架進行抽取和擴展，既可以在看別人解法時快速理解核心邏輯，也有助於找到我們自己寫解法時的思路方向。
當然，如果細節出錯，你得不到正確的答案，但是只要有框架，你再錯也錯不到哪去，因爲你的方向是對的。
但是，你要是心中沒有框架，那麼你根本無法解題，給了你答案，你也不會發現這就是個樹的遍歷問題。
這種思維是很重要的，動態規劃詳解中總結的找狀態轉移方程的幾步流程，有時候按照流程寫出解法，說實話我自己都不知道爲啥是對的，反正它就是對了。。。
這就是框架的力量，能夠保證你在快睡着的時候，依然能寫出正確的程序；就算你啥都不會，都能比別人高一個級別。
四、總結幾句
數據結構的基本存儲方式就是鏈式和順序兩種，基本操作就是增刪查改，遍歷方式無非迭代和遞歸。
刷算法題建議從「樹」分類開始刷，結合框架思維，把這幾十道題刷完，對於樹結構的理解應該就到位了。這時候去看回溯、動規、分治等算法專題，對思路的理解可能會更加深刻一些。