矩陣運算——矩陣乘除法python

哈嘍，鑑於上一篇博文出現問題，此處特地開一篇，我也是一臉矇蔽。

很多博文只會求得矩陣特徵分解的特徵值和特徵向量，而從沒有進行驗證，驗證方法兩個

1  A*v=lam*v                    lam是特徵值

2 det(A-lam*I)=0              I是單位陣

我隨機產生的矩陣求特徵值發現有複數產生，爲了方便，網上找了不是複數的矩陣。

錯誤方法復現

>>> A
array([[-1,  1,  0],
       [-4,  3,  0],
       [ 1,  0,  2]])
lamba,va=np.linalg.eig(A)

#the first validation
>>> np.dot(A,va)
array([[ 0.        ,  0.40824829,  0.40824829],
       [ 0.        ,  0.81649658,  0.81649658],
       [ 2.        , -0.40824829, -0.40824829]])
>>> np.dot(np.diag(lamba),va)
array([[ 0.        ,  0.81649658,  0.81649658],
       [ 0.        ,  0.81649658,  0.81649658],
       [ 1.        , -0.40824829, -0.40824829]])

#服不服？這是錯的

#the second validation
>>> np.linalg.det(A-np.diag(lamba))
-2.0

#崩潰不

且不說上面有個特徵值是重複的。

原因是加轉置就正確了，公式是公式，實際操作就是不一樣，不服就錯。

【其實原因是v是特徵向量，而求得是矩陣，lam是標量，得到的是向量，按照給定的1式驗證，需要驗證3次，而加轉置只需驗證一次即可】

笨方法驗證：

>>> np.dot(A,va[:,0])
array([0., 0., 2.])
>>> lamba[0]*va[:,0]
array([0., 0., 2.])
>>> np.dot(A,va[:,1])
array([ 0.40824829,  0.81649658, -0.40824829])
>>> lamba[1]*va[:,1]
array([ 0.40824829,  0.81649658, -0.40824829])
>>> np.dot(A,va[:,2])
array([ 0.40824829,  0.81649658, -0.40824829])
>>> lamba[2]*va[:,2]
array([ 0.40824829,  0.81649658, -0.40824829])

第二個驗證錯誤的原因有兩個

1）lam是向量，2式中是標量，

2）單位矩陣不是全爲1的矩陣，而只有對角線上爲1

【紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行】

只有當用到的時候才知道，至於除法則是求逆矩陣即可，線性代數模塊有直接的inv和pinv僞逆

不再驗證了，拜拜

 

另外有相關問題可以加入QQ羣討論，不設微信羣

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