理解隔板法
【定義】
隔板法就是在n個元素間的（n-1）個空中插入k個板，可以把n個元素分成k+1組的方法。
應用隔板法必須滿足3個條件：
（1） 這n個元素必須互不相異；
（2） 所分成的每一組至少分得1個元素；
（3） 分成的組別彼此相異。
【公式】
把10個相同的小球放入3個不同的箱子，每個箱子至少一個，問有幾種情況？
C（n-1，m-1）=C(9.2)
接下來纔是重點。
【隔板應用】
- 普通隔板法
例1. 求方程 x+y+z=10的正整數解的個數。
分析：將10個球排成一排，球與球之間形成9個空隙，將兩個隔板插入這些空隙中（每空至多插一塊隔板），規定由隔板分成的左、中、右三部分的球數分別爲x、y、z之值（如下圖）。則隔法與解的個數之間建立了一一對立關係，故解的個數爲C(n-1,m-1)=C（9，2）=36（個）。
- 添元素隔板法
例2. 求方程 x+y+z=10的非負整數解的個數。
分析：注意到x、y、z可以爲零，故例1解法中的限定“每空至多插一塊隔板”就不成立了，怎麼辦呢？只要添加三個球，給x、y、z各添加一個球，這樣原問題就轉化爲求 x+y+z=13的正整數解的個數了，則問題就等價於把13個相同小球放入3個不同箱子，每個箱子至少一個，有幾種情況？易得解的個數爲C（n+m-1,m-1）=C（12，2）=66（個）。
例3： 把10個相同小球放入3個不同箱子，第一個箱子至少1個，第二個箱子至少3個，第三個箱子可以放空球，有幾種情況？
我們可以在第二個箱子先放入10個小球中的2個，小球剩8個放3個箱子，然後在第三個箱子放入8個小球之外的1個小球，則問題轉化爲 把9個相同小球放3不同箱子，每箱至少1個，幾種方法？ C(8,2）=28
例4. 將20個相同的小球放入編號分別爲1，2，3，4的四個盒子中，要求每個盒子中的球數不少於它的編號數，求放法總數。（減少球數用隔板法）
分析：先在編號1，2，3，4的四個盒子內分別放0，1，2，3個球，剩下14個球，有1種方法；再把剩下的球分成4組，每組至少1個，由例1知方法有C（13，3）=286（種）。
例5：有一類自然數，從第三個數字開始，每個數字都恰好是它前面兩個數字之和，直至不能再寫爲止，如257，1459等等，這類數共有幾個？
因爲前2位數字唯一對應了符合要求的一個數，只要求出前2位有幾種情況即可，設前兩位爲ab
顯然a+b<=9 ,且a不爲0
1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1代表9個1，-代表8個空位
我們要把9個1分成兩組，但b可以爲0，我們先給b一個1，然後就相當於10個小球放入兩個（a，b）不同的箱子，每一個箱子至少放一個，C（9，1），但這是錯誤的，爲什麼？因爲1不一定要全部放入。其實解決這個問題可以這麼想，我們在引進一個盒子c來放ab取完剩下的1，所以報證c中球數大於0，所以要在增加一個球，題目就等價於，11個小球放入兩個（a，b）不同的箱子，每一個箱子至少放一個，所以一共有 c（10，2）=45 .
- 添板插板法
例5另一種解法：
顯然a+b<=9 ,且a不爲0
1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 - - 1代表9個1，-代表10個空位 （第一個沒有因爲a不能爲0），我們可以在這9個空位中插入2個板，分成3組，第一組取到a個1，第二組取到b個1，但此時第二組始終不能取空，若多添加第10個空時，設取到該板時第二組取空，即b=0，所以一共有 c（10，2）=45
添板插板法就是添元素隔板法的變形。
- 選板法
例6： 有10粒糖，如果每天至少吃一粒(多不限)，吃完爲止，求有多少種不同吃法？
o - o - o - o - o - o - o - o - o – o o代表10個糖，-代表9塊板
10塊糖，9個空，插入9塊板，每個板都可以選擇放或是不放，相鄰兩個板間的糖一天吃掉
這樣一共就是 2^9= 512啦
- 分類插板
例7： 小梅有15塊糖，如果每天至少吃3塊，吃完爲止，那麼共有多少種不同的吃法？
此問題不能用插板法的原因在於沒有規定一定要吃幾天，因此我們需要對吃的天數進行分類討論
最多吃5天，最少吃1天
1： 吃1天或是5天，各一種吃法 一共2種情況
2：吃2天，每天預先吃2塊，即問11塊糖，每天至少吃1塊，吃2天，幾種情況？ C（10， 1）=10
3：吃3天，每天預先吃2塊，即問9塊糖，每天至少1塊，吃3天? C（8 ，2）=28
4：吃4天，每天預先吃2塊，即問7塊糖，每天至少1塊，吃4天？c（6 ，3）=20
所以一共是 2+10+28+20=60 種
- 逐步插板法
例8 ：在一張節目單中原有6個節目，若保持這些節目相對次序不變，再添加3個節目，共有幾種情況？
-o - o - o - o - o - o - 三個節目abc
可以用一個節目去插7個空位，再用第二個節目去插8個空位，用最後個節目去插9個空位
所以一共是 c（7, 1）×c(8, 1)×c(9 ,1)=504種
幾個思維含量的例題：
1.[ZOJ3557]How Many Sets II
給一個集合，一共個元素，從中選取個元素，選出的元素中沒有相鄰的元素的選法一共有多少種？
這道題是插板法的經典應用
首先我們拿出m個小球，還剩下n-m個小球。這n-m個小球一共有n-m+1個空（左右兩邊也可以），把這m個小球插入到這n-m+1個空裏就是答案，即
這m個小球的編號取決於它插入的位置，所以和選哪個小球沒關係
2.hdu 3037 Saving Beans
有n個不同的盒子，在每個盒子中放一些球（可以不放），使得總球數≤m,求方案數（mod p）
第一種方法：
設最後放了k個球，根據"隔板法"由方案數C(k+n-1,n-1),:
ans=C(n-1,n-1)+C(n,n-1)+C(n+1,n-1)+……+C(n+m-2,n-1)+C(n+m-1,n-1)
=C(n+m,n);(mod p)
第二種方法：
這個題和原來不一樣的地方：總球數≤m，一般我們就是總球數就是m，所以我們可以增加一個盒子，現在n+1個盒子，現在假設就要放m個球，n來來放k個球，剩下的m-k就放在那個我們增加的盒子裏，這樣n個盒子的組合球數就是我們要求的，所以題目等價於m個球放入n+1個盒子中，盒子有裏球數可以爲0，添元素插板法，每一個盒子都增加一個球，即m+n+1個球放入n+1個盒子，c（m+n，n）爲答案。