算法書中的精華（連載中）

本人屯了幾本算法書，打算儘快在大三結束之前汲取完。所以將其中一些有趣的地方記錄下來吧，畢竟算法還是很有趣的，雖然學習的過程中常常伴隨着痛苦

《信息學奧賽一本通》

五種常見的遞推關係

1.Fibonacci數列

斐波那鍥數列是形如這樣的數列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89，在數學上，斐波納契數列以如下被以遞推的方法定義：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=3，n∈N*）

如比較著名的兔子問題和上臺階問題 都是斐波那鍥數列的應用。想了解更多可以看這裏。

2.Hanoi塔問題

問題的提出：Hanoi塔由n個大小不同的圓盤和三根木柱a,b,c組成。開始時，這n個圓盤由大到小依次套在a柱上，如圖3-11所示。
要求把a柱上n個圓盤按下述規則移到c柱上：

(1)一次只能移一個圓盤；
　　(2)圓盤只能在三個柱上存放；
　　(3)在移動過程中，不允許大盤壓小盤。
　　問將這n個盤子從a柱移動到c柱上，總計需要移動多少個盤次？

解：設$h_n$爲n個盤子從a柱移到c柱所需移動的盤次。顯然，當n=1時，只需把a 柱上的盤子直接移動到c柱就可以了，故$h_1$=1。當n=2時，先將a柱上面的小盤子移動到b柱上去；然後將大盤子從a柱移到c 柱；最後，將b柱上的小盤子移到c柱上，共記3個盤次，故$h_2$=3。以此類推，當a柱上有n個盤子時，總是先借助c柱把上面的n-1個盤子移動到b柱上，然後把a柱最下面的盤子移動到c柱上；再借助a柱把b柱上的n-1個盤子移動到c柱上；總共移動$h_n-1$+1+$h_n-1$個盤次。

∴$h_n=2h_n-1+1$ 邊界條件：$h_1=1$

3.平面分割問題

問題的提出：設有n條封閉曲線畫在平面上，而任何兩條封閉曲線恰好相交於兩點，且任何三條封閉曲線不相交於同一點，問這些封閉曲線把平面分割成的區域個數。

解：設an爲n條封閉曲線把平面分割成的區域個數。 由圖3-13可以看出：a2-a1=2；a3-a2=4；a4-a3=6。

從這些式子中可以看出$a_n-a_{n-1}=2(n-1)$。當然，上面的式子只是我們通過觀察4幅圖後得出的結論，它的正確性尚不能保證。下面不妨讓我們來試着證明一下。當平面上已有n-1條曲線將平面分割成$a_n-1$個區域後，第n-1條曲線每與曲線相交一次，就會增加一個區域，因爲平面上已有了n-1條封閉曲線，且第n條曲線與已有的每一條閉曲線恰好相交於兩點，且不會與任兩條曲線交於同一點，故平面上一共增加2(n-1)個區域，加上已有的$a_n-1$個區域，一共有$a_n-1+2(n-1)$個區域。

所以本題的遞推關係是$a_n=a_{n-1}+2(n-1)$，邊界條件是$a_1=1$

4.Catalan數

Catalan數首先是由Euler在精確計算對凸n邊形的不同的對角三角形剖分的個數問題時得到的，它經常出現在組合計數問題中。
問題的提出：在一個凸n邊形中，通過不相交於n邊形內部的對角線，把n邊形拆分成若干三角形，不同的拆分數目用$h_n$表示，$h_n$即爲Catalan數。例如五邊形有如下五種拆分方案(圖3-14)，故$h_5=5$。求對於一個任意的凸n邊形相應的$h_n$。

Catalan數是比較複雜的遞推關係，尤其在競賽的時候，選手很難在較短的時間裏建立起正確的遞推關係。當然，Catalan數類的問題也可以用搜索的方法來完成，但是，搜索的方法與利用遞推關係的方法比較起來，不僅效率低，編程複雜度也陡然提高。

5、第二類Stirling數

在五類典型的遞推關係中，第二類Stirling是最不爲大家所熟悉的。也正因爲如此，我們有必要先解釋一下什麼是第二類Strling數

【定義2】 n個有區別的球放到m個相同的盒子中，要求無一空盒，其不同的方案數用$S(n,m)$表示，稱爲第二類Stirling數。
下面就讓我們根據定義來推導帶兩個參數的遞推關係——第二類Stirling數。
解：設有n個不同的球，分別用$b_1,b_2,……b_n$表示。從中取出一個球$b_n$，$b_n$的放法有以下兩種：
　　 ①$b_n$獨自佔一個盒子；那麼剩下的球只能放在m-1個盒子中，方案數爲$S(n-1,m-1)$；
　　 ②$b_n$與別的球共佔一個盒子；那麼可以事先將$b_1,b_2,……b_{n-1}$這n-1個球放入m個盒子中，然後再將球$b_n$可以放入其中一個盒子中，方案數爲$m\cdot S(n-1,m)$。
綜合以上兩種情況，可以得出第二類Stirling數定理：
　　　$S(n,m)=m\cdot S(n-1,m)+S(n-1,m-1) (n>1,m>=1)$
邊界條件可以由定義2推導出：
　　　 $S(n,0)=0；S(n,1)=1；S(n,n)=1；S(n,k)=0(k>n)。$
第二類Stirling數在競賽中較少出現，但在競賽中也有一些題目與其類似，甚至更爲複雜。讀者不妨自己來試着建立其中的遞推關係。
小結：通過上面對五種典型的遞推關係建立過程的探討，可知對待遞推類的題目，要具體情況具體分析，通過找到某狀態與其前面狀態的聯繫，建立相應的遞推關係。