利用快速傅里葉計算多項式相乘

FFT多項式計算

傅里葉變換是一個很大的概念，裏面包含太多太多東西，整篇在傅里葉變換中只是一個小應用而已。就我的理解，描述快速傅里葉變換優化多項式乘法的原理和具體實踐。

傅里葉變換

傅里葉變換是一種線性積分變換，用於信號在時域（或空域）和頻域之間的變換。

一般情況下，若傅里葉變換一詞不加任何限定語，則指的是連續傅里葉變換。（連續）傅里葉變換定義如下：傅里葉變換將可積函數$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$表示成復指數函數的積分或級數性質。
$\hat{f} \left( \xi \right) = \int_{-\infty}^{\infty} f \left( x \right) e^{-2\pi i x \xi } dx$
其中$\xi$爲任意實數。自變量$x$表示時間，變換變量$\xi$表示頻率。在多數情況下，傅里葉變換是可逆的，即可以通過$\hat{f}$得到其原函數$f$，定義如下：
$f \left( \xi \right) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f} \left( \xi \right) e^{2\pi i \xi x} d \xi$

離散傅里葉變換

爲了在科學計算和數字信號處理等領域使用計算機進行傅里葉變換，必須將函數$x_{n}$定義在離散點而非連續域內，且須滿足有限性和週期性等提交。這種情況下，使用離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform，DFT），DFT是傅里葉變換在時域和頻域上都呈離散的形式，函數定義如下：
$\hat{x}_{n} = \sum_{k=0}^{N-1}x_{k} e^{-i \frac{2\pi}{N} k n} \qquad n = 0, \cdots, N-1$
其逆變換爲：
$x_{k} =\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} \hat{x}_{n} e^{-i \frac{2\pi}{N} n k} \qquad k = 0, \cdots, N-1$

單位根

數學上，$n$次單位根是$n$次冪爲1的負數。定義爲$\omega^{n}=1 \quad \left( n=1,2,3,\cdots\right)$，$\omega$爲$n$次單位根。單位的$n$次根有$n$個：$e^{2\pi k i / n} \quad \left(k=0,1,2,\cdots, n-1 \right)$。我們用$\omega_{n}^{0}, \omega_{n}^{1}, \cdots, \omega_{n}^{n-1}$表示這個$n$個$n$次根，$\omega_{n}^{i} = e^{2\pi k i / n}$。

結合歐拉公式，可以很容易得看出，$\omega_{n}^{k} = e ^{2\pi \frac{k}{n} i } = cos\left(2\pi \frac{k}{n}\right) + i \cdot sin \left( 2\pi \frac{k}{n} \right) = 1$

對於$n \geq 0, k \geq 0, d \geq 0$，有$\omega_{dn}^{dk}=\left( e^{2\pi i /dn}\right)^{dk} = \left( e^{2\pi i /n}\right)^{k} = \omega_{n}^{k}$。

對於$\forall n$滿足$n > 0$且$2 | n$，有$\omega_{n}^{k + \frac{n}{2}} = e ^ {\frac{2 \pi i}{n} \left( k + \frac{n}{2}\right)} = e^{2 \pi i k / n} e^{\pi i} = \omega_{n}^{k} \left( cos \pi + i sin \pi \right) = -\omega_{n}^{k}$

多項式

形如$a_{0} + a_{1} x + \cdots + a_{n} x^{n}$的多項式被稱爲多項式，記爲$A\left( x \right) = \sum_{i=0}^{n-1} a_{i} x^{i}$，其中$a_{i}, i=0,1,\cdots,n$爲係數，用係數表示多項式爲$\vec{a}=\left(a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n} \right)$，$\vec{a}$就爲多項式的係數表示法。

我們知道通過$n+1$個不同的點$\left\{\left(x_{0},y_{0}\right),\cdots, \left(x_{n},y_{n}\right) \right\}$就可以唯一確定一個$n$次多項式，$\left\{\left(x_{0},y_{0}\right),\cdots, \left(x_{n},y_{n}\right) \right\}$爲多項式的點值表示法。

快速傅里葉變換

快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，FFT），是計算離散傅里葉變換及其逆變換的快算算法。按照DFT的定義，計算一個長爲$n$的序列需要的時間複雜度爲$O\left( n^{2} \right)$，而FFT通過把DFT矩陣分解爲稀疏因子之積來快速計算變換，從而將時間複雜度降到$O\left( nlog n \right)$。

庫裏-圖基快速傅里葉變換算法是最常見的FFT算法，基於分治策略，可將時間複雜度降爲$O\left( nlog n \right)$。

假設一個多項式表示爲$A\left( x \right) = \sum_{i=0}^{n-1} a_{i} x^{i}$，用係數表示法表示就是向量$\vec{a}=\left(a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n} \right)$。用點值表示，將$n$個$n$次單位根$\omega_{n}^{0}, \omega_{n}^{1}, \cdots, \omega_{n}^{n-1}$帶入到多項式爲$A\left( \omega_{n}^{k} \right) = \sum_{i=0}^{n-1} a_{i} \omega_{n}^{ki}, k = 0,1,\cdots, n-1$。現在我們和DFT定義的公式比對，$A\left(\omega_{n}^{i}\right)$就是是$a_{i}$的DFT，那麼$a_{i}$就是$A\left(\omega_{n}^{i}\right)$就是的IDFT。記爲$A\left(\omega_{n}^{i}\right) = DFT\left( a_{i} \right)$。

下面我們就依據上面陳列的基礎基礎，對$A\left(\omega_{n}^{k}\right)$進行公式推導：
$\begin{matrix} A\left(\omega_{n}^{k}\right) &= \sum_{i=0}^{n-1} a_{i}\omega_{n}^{ki} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \\ \\ & = \sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1} a_{2i}\omega_{n}^{2ki} + \omega_{n}^{k} \sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1} a_{2i+1}\omega_{n}^{2ki} \\ \\ & = \sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1} a_{2i}\omega_{\frac{n}{2}}^{ki} + \omega_{n}^{k} \sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1} a_{2i+1}\omega_{\frac{n}{2}}^{ki} \; \; \; \end{matrix}$
又由於
$\begin{matrix} A\left(\omega_{n}^{k + \frac{n}{2}}\right) &= \sum_{i=0}^{n-1} a_{i}\omega_{n}^{\left(k+ \frac{n}{2}\right)i}\qquad \qquad \qquad \qquad \quad \\ \\ & = \sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1} a_{2i}\omega_{n}^{2ki} + \omega_{n}^{k + \frac{n}{2}} \sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1} a_{2i+1}\omega_{n}^{2ki} \\ \\ & = \sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1} a_{2i}\omega_{\frac{n}{2}}^{ki} - \omega_{n}^{k} \sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1} a_{2i+1}\omega_{\frac{n}{2}}^{ki} \qquad \end{matrix}$
可以看出，對於$k < \frac{n}{2}$時，只要代入$\omega_{\frac{n}{2}}, \omega_{\frac{n}{2}}^{2}, \cdots, \omega_{\frac{n}{2}}^{\frac{n}{2} - 1}$，就可以求出$A\left(\omega_{n}^{k}\right)$和$A\left(\omega_{n}^{k + \frac{n}{2}}\right)$。
$\begin{matrix} A\left(\omega_{n}^{k}\right) \quad =& A_{1}\left(\omega_{\frac{n}{2}}^{k}\right) + A_{2}\left(\omega_{\frac{n}{2}}^{k}\right) \\ \\ A\left(\omega_{n}^{k + \frac{n}{2}}\right) = & A_{1}\left(\omega_{\frac{n}{2}}^{k}\right) - A_{2}\left(\omega_{\frac{n}{2}}^{k}\right) \end{matrix} (公式1)$
不遞歸的僞代碼如下所示：

void get_rev(int bit)
{
    for(int i=0; i<(1<<bit); i++)
        rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
}
/**
n爲2的冪次方
op==1，DFT
op==-1，IDFT
*/
void fft(cd *a,int n,int op)
{
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        if(i<rev[i])
        {
            cd tmp = a[i];
            a[i] = a[rev[i]];
            a[rev[i]] = tmp;
        }
    }
    for(int step=1; step<n; step<<=1)
    {
        cd wn=exp(cd(0,op*PI/step));
        for(int j=0; j<n; j+=step<<1)
        {
            cd wnk(1,0);
            for(int k=j; k<j+step; k++)
            {
                cd x=a[k];
                cd y=wnk*a[k+step];
                a[k]=x+y;
                a[k+step]=x-y;
                wnk*=wn;
            }
        }
    }
    if(op==-1)
    {
        for(int i=0; i<n; i++)
            a[i]/=n;
    }
}

費了好大經歷才把代碼和原理結合在一起，在網上搜了好久都沒有理解爲何代碼要這樣寫，後來在離散傅里葉變換和快速傅里葉變換課件中搜到一張圖，瞬間明白，其中的子操作被稱爲蝴蝶操作。如下圖所示，展示了一個8個點的DFT是怎樣分解成4個2個點的DFT。

蝴蝶操作見下圖，類似於蝴蝶形狀，是不是和上述公式1的計算相符合。

FFT實現多項式乘法

當現在有多項式$A\left(x\right)$和多項式$B\left(x\right)$，令$C\left(x\right) = A\left(x\right) \cdot B\left(x\right)$，那麼如何求$C$的係數$c_{j}$呢？

先引入一個定理，函數卷積的傅里葉變換是函數傅里葉變換的乘積。$C\left(x\right) $中次數爲$j$的項由$A \left(x\right) $中次數爲$k$的項和$B\left(x\right) $中次數$j-k$爲的項相乘得到。那麼我們先通過$C\left(\omega_{n}\right) = A\left(\omega_{n}\right) B\left(\omega_{n},\right)$，然後在通過IDFT計算$c_{j}$。

    fft(a,n,1);
    fft(b,n,1);
    for(int i=0; i<s; i++) a[i]*=b[i];
    fft(a,n,-1);

備註

歐拉公式$e^{ix} = cos x + i \cdot sin x$

參考

• 傅里葉變換

• 離散傅里葉變換

• 單位根

• 快速傅里葉變換

• 離散傅里葉變換和快速傅里葉變換