利用快速傅里叶计算多项式相乘

FFT多项式计算

傅里叶变换是一个很大的概念，里面包含太多太多东西，整篇在傅里叶变换中只是一个小应用而已。就我的理解，描述快速傅里叶变换优化多项式乘法的原理和具体实践。

傅里叶变换

傅里叶变换是一种线性积分变换，用于信号在时域（或空域）和频域之间的变换。

一般情况下，若傅里叶变换一词不加任何限定语，则指的是连续傅里叶变换。（连续）傅里叶变换定义如下：傅里叶变换将可积函数$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$表示成复指数函数的积分或级数性质。
$\hat{f} \left( \xi \right) = \int_{-\infty}^{\infty} f \left( x \right) e^{-2\pi i x \xi } dx$
其中$\xi$为任意实数。自变量$x$表示时间，变换变量$\xi$表示频率。在多数情况下，傅里叶变换是可逆的，即可以通过$\hat{f}$得到其原函数$f$，定义如下：
$f \left( \xi \right) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f} \left( \xi \right) e^{2\pi i \xi x} d \xi$

离散傅里叶变换

为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数$x_{n}$定义在离散点而非连续域内，且须满足有限性和周期性等提交。这种情况下，使用离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT），DFT是傅里叶变换在时域和频域上都呈离散的形式，函数定义如下：
$\hat{x}_{n} = \sum_{k=0}^{N-1}x_{k} e^{-i \frac{2\pi}{N} k n} \qquad n = 0, \cdots, N-1$
其逆变换为：
$x_{k} =\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} \hat{x}_{n} e^{-i \frac{2\pi}{N} n k} \qquad k = 0, \cdots, N-1$

单位根

数学上，$n$次单位根是$n$次幂为1的负数。定义为$\omega^{n}=1 \quad \left( n=1,2,3,\cdots\right)$，$\omega$为$n$次单位根。单位的$n$次根有$n$个：$e^{2\pi k i / n} \quad \left(k=0,1,2,\cdots, n-1 \right)$。我们用$\omega_{n}^{0}, \omega_{n}^{1}, \cdots, \omega_{n}^{n-1}$表示这个$n$个$n$次根，$\omega_{n}^{i} = e^{2\pi k i / n}$。

结合欧拉公式，可以很容易得看出，$\omega_{n}^{k} = e ^{2\pi \frac{k}{n} i } = cos\left(2\pi \frac{k}{n}\right) + i \cdot sin \left( 2\pi \frac{k}{n} \right) = 1$

对于$n \geq 0, k \geq 0, d \geq 0$，有$\omega_{dn}^{dk}=\left( e^{2\pi i /dn}\right)^{dk} = \left( e^{2\pi i /n}\right)^{k} = \omega_{n}^{k}$。

对于$\forall n$满足$n > 0$且$2 | n$，有$\omega_{n}^{k + \frac{n}{2}} = e ^ {\frac{2 \pi i}{n} \left( k + \frac{n}{2}\right)} = e^{2 \pi i k / n} e^{\pi i} = \omega_{n}^{k} \left( cos \pi + i sin \pi \right) = -\omega_{n}^{k}$

多项式

形如$a_{0} + a_{1} x + \cdots + a_{n} x^{n}$的多项式被称为多项式，记为$A\left( x \right) = \sum_{i=0}^{n-1} a_{i} x^{i}$，其中$a_{i}, i=0,1,\cdots,n$为系数，用系数表示多项式为$\vec{a}=\left(a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n} \right)$，$\vec{a}$就为多项式的系数表示法。

我们知道通过$n+1$个不同的点$\left\{\left(x_{0},y_{0}\right),\cdots, \left(x_{n},y_{n}\right) \right\}$就可以唯一确定一个$n$次多项式，$\left\{\left(x_{0},y_{0}\right),\cdots, \left(x_{n},y_{n}\right) \right\}$为多项式的点值表示法。

快速傅里叶变换

快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT），是计算离散傅里叶变换及其逆变换的快算算法。按照DFT的定义，计算一个长为$n$的序列需要的时间复杂度为$O\left( n^{2} \right)$，而FFT通过把DFT矩阵分解为稀疏因子之积来快速计算变换，从而将时间复杂度降到$O\left( nlog n \right)$。

库里-图基快速傅里叶变换算法是最常见的FFT算法，基于分治策略，可将时间复杂度降为$O\left( nlog n \right)$。

假设一个多项式表示为$A\left( x \right) = \sum_{i=0}^{n-1} a_{i} x^{i}$，用系数表示法表示就是向量$\vec{a}=\left(a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n} \right)$。用点值表示，将$n$个$n$次单位根$\omega_{n}^{0}, \omega_{n}^{1}, \cdots, \omega_{n}^{n-1}$带入到多项式为$A\left( \omega_{n}^{k} \right) = \sum_{i=0}^{n-1} a_{i} \omega_{n}^{ki}, k = 0,1,\cdots, n-1$。现在我们和DFT定义的公式比对，$A\left(\omega_{n}^{i}\right)$就是是$a_{i}$的DFT，那么$a_{i}$就是$A\left(\omega_{n}^{i}\right)$就是的IDFT。记为$A\left(\omega_{n}^{i}\right) = DFT\left( a_{i} \right)$。

下面我们就依据上面陈列的基础基础，对$A\left(\omega_{n}^{k}\right)$进行公式推导：
$\begin{matrix} A\left(\omega_{n}^{k}\right) &= \sum_{i=0}^{n-1} a_{i}\omega_{n}^{ki} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \\ \\ & = \sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1} a_{2i}\omega_{n}^{2ki} + \omega_{n}^{k} \sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1} a_{2i+1}\omega_{n}^{2ki} \\ \\ & = \sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1} a_{2i}\omega_{\frac{n}{2}}^{ki} + \omega_{n}^{k} \sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1} a_{2i+1}\omega_{\frac{n}{2}}^{ki} \; \; \; \end{matrix}$
又由于
$\begin{matrix} A\left(\omega_{n}^{k + \frac{n}{2}}\right) &= \sum_{i=0}^{n-1} a_{i}\omega_{n}^{\left(k+ \frac{n}{2}\right)i}\qquad \qquad \qquad \qquad \quad \\ \\ & = \sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1} a_{2i}\omega_{n}^{2ki} + \omega_{n}^{k + \frac{n}{2}} \sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1} a_{2i+1}\omega_{n}^{2ki} \\ \\ & = \sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1} a_{2i}\omega_{\frac{n}{2}}^{ki} - \omega_{n}^{k} \sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1} a_{2i+1}\omega_{\frac{n}{2}}^{ki} \qquad \end{matrix}$
可以看出，对于$k < \frac{n}{2}$时，只要代入$\omega_{\frac{n}{2}}, \omega_{\frac{n}{2}}^{2}, \cdots, \omega_{\frac{n}{2}}^{\frac{n}{2} - 1}$，就可以求出$A\left(\omega_{n}^{k}\right)$和$A\left(\omega_{n}^{k + \frac{n}{2}}\right)$。
$\begin{matrix} A\left(\omega_{n}^{k}\right) \quad =& A_{1}\left(\omega_{\frac{n}{2}}^{k}\right) + A_{2}\left(\omega_{\frac{n}{2}}^{k}\right) \\ \\ A\left(\omega_{n}^{k + \frac{n}{2}}\right) = & A_{1}\left(\omega_{\frac{n}{2}}^{k}\right) - A_{2}\left(\omega_{\frac{n}{2}}^{k}\right) \end{matrix} (公式1)$
不递归的伪代码如下所示：

void get_rev(int bit)
{
    for(int i=0; i<(1<<bit); i++)
        rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
}
/**
n为2的幂次方
op==1，DFT
op==-1，IDFT
*/
void fft(cd *a,int n,int op)
{
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        if(i<rev[i])
        {
            cd tmp = a[i];
            a[i] = a[rev[i]];
            a[rev[i]] = tmp;
        }
    }
    for(int step=1; step<n; step<<=1)
    {
        cd wn=exp(cd(0,op*PI/step));
        for(int j=0; j<n; j+=step<<1)
        {
            cd wnk(1,0);
            for(int k=j; k<j+step; k++)
            {
                cd x=a[k];
                cd y=wnk*a[k+step];
                a[k]=x+y;
                a[k+step]=x-y;
                wnk*=wn;
            }
        }
    }
    if(op==-1)
    {
        for(int i=0; i<n; i++)
            a[i]/=n;
    }
}

费了好大经历才把代码和原理结合在一起，在网上搜了好久都没有理解为何代码要这样写，后来在离散傅里叶变换和快速傅里叶变换课件中搜到一张图，瞬间明白，其中的子操作被称为蝴蝶操作。如下图所示，展示了一个8个点的DFT是怎样分解成4个2个点的DFT。

蝴蝶操作见下图，类似于蝴蝶形状，是不是和上述公式1的计算相符合。

FFT实现多项式乘法

当现在有多项式$A\left(x\right)$和多项式$B\left(x\right)$，令$C\left(x\right) = A\left(x\right) \cdot B\left(x\right)$，那么如何求$C$的系数$c_{j}$呢？

先引入一个定理，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。$C\left(x\right) $中次数为$j$的项由$A \left(x\right) $中次数为$k$的项和$B\left(x\right) $中次数$j-k$为的项相乘得到。那么我们先通过$C\left(\omega_{n}\right) = A\left(\omega_{n}\right) B\left(\omega_{n},\right)$，然后在通过IDFT计算$c_{j}$。

    fft(a,n,1);
    fft(b,n,1);
    for(int i=0; i<s; i++) a[i]*=b[i];
    fft(a,n,-1);

备注

欧拉公式$e^{ix} = cos x + i \cdot sin x$

参考

• 傅里叶变换

• 离散傅里叶变换

• 单位根

• 快速傅里叶变换

• 离散傅里叶变换和快速傅里叶变换