橢圓隱式方程和參數方程的互相轉換

1. 隱式方程轉參數方程

二次曲線的一般方程爲:
Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx2+2Ey2+F=0.A{x^2}+2Bxy+C{y^2}+2Dx^2+2Ey^2+F=0.
B2AC<0B^2-AC<0, 爲橢圓;B2AC=0B^2-AC=0, 爲拋物線;B2AC>0B^2-AC>0,爲雙曲線。
二次曲線可通過旋轉和平移來變成標準方程,從而得到其幾何參數。旋轉的作用是消去交叉項,平移的作用是使中心爲原點,下面以橢圓爲例。
方程的二次項爲:
[x,y][ABBC][x,y],(1) [x, y] \left[ \begin{matrix} A &B\\ B &C \end{matrix} \right] [x, y], \tag{1}
一次項爲
2[x,y][DE]. 2[x, y] \left[ \begin{matrix} D\\ E \end{matrix} \right]. 我們對二次項進行旋轉,消去交叉項,旋轉角θ\theta就是橢圓的偏角。假設新的座標爲(x,y)(x^{'}, y^{'}), 那麼
[xy]=[cosθsinθsinθcosθ][xy]. \left[ \begin{matrix} x^{'}\\ y^{'}\\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} \cos\theta & \sin\theta\\ -\sin\theta &\cos\theta\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x\\ y\\ \end{matrix} \right].

[xy]=[cosθsinθsinθcosθ][xy] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} \cos\theta &-\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} x^{'}\\ y^{'}\\ \end{matrix} \right]
帶入式(1),然後令矩陣(1,2) 位置的元素爲0,可得,
(CA)sin2θ+2Bcos2θ=0,(C-A)\sin2\theta+2B\cos2\theta=0,
那麼,tan2θ=2BAC.\tan2\theta=\frac{2B}{A-C}. 那麼原來的二次項矩陣變爲:
[cosθsinθsinθcosθ][ABBC][cosθsinθsinθcosθ]=[A00C]. \left[ \begin{matrix} \cos\theta &\sin\theta\\ -\sin\theta &cos\theta\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} A & B\\ B& C\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \cos\theta &-\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} A^{'} & 0\\ 0& C^{'}\\ \end{matrix} \right]. 兩邊同時乘以旋轉矩陣的逆,並比較兩邊矩陣的(1,1)和(2,2)位置元素可得:
A=A+Btanθ,C=CBtanθ.A^{'}=A+B\tan\theta, C^{'}=C-B\tan\theta.對於一次項,做同樣的旋轉操作可得,
[DE]=[cosθsinθsinθcosθ][DE]=[Dcosθ+EsinθDsinθ+Ecosθ]. \left[ \begin{matrix} D^{'}\\ E^{'} \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} \cos\theta & \sin\theta\\ -\sin\theta & \cos\theta\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} D\\ E\\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} D\cos\theta+E\sin\theta\\ -D\sin\theta+E\cos\theta\\ \end{matrix} \right]. 那麼化簡後的橢圓方程爲
Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0.A^{'}x^{'}{^2}+C^{'}y^{'}{^2}+2D^{'}x^{'}+2E^{'}y^{'}+F=0.
我們對它進一步配方化爲標準橢圓方程:
(x+D/A)2D2A2+E2CAFA+(y+E/C)2D2AC+E2C2FC=1,\frac{(x^{'}+D^{'}/A^{'})^2}{\frac{D^{'}{^2}}{A^{'}{^2}}+\frac{E^{'}{^2}}{C^{'}A^{'}}-\frac{F}{A^{'}}}+\frac{(y^{'}+E^{'}/C^{'})^2}{\frac{D^{'}{^2}}{A^{'}C^{'}}+\frac{E^{'}{^2}}{C^{'}{^2}}-\frac{F}{C^{'}}}=1,從而我們得到橢圓5個參數(xc,yc,a,b,θ)(x_c, y_c, a,b,\theta)
{xc=DAyc=ECa=D2A2+E2CAFAb=D2AC+E2C2FCtanθ=2BAC. \left\{ \begin{array}{rcl} &x_c=-\frac{D^{'}}{A^{'}} \\ &y_c=-\frac{E^{'}}{C^{'}}\\ &a=\sqrt{{\frac{D^{'}{^2}}{A^{'}{^2}}+\frac{E^{'}{^2}}{C^{'}A^{'}}-\frac{F}{A^{'}}}}\\ &b=\sqrt{\frac{D^{'}{^2}}{A^{'}C^{'}}+\frac{E^{'}{^2}}{C^{'}{^2}}-\frac{F}{C^{'}}}\\ &\tan\theta=\frac{2B}{A-C} \end{array}. \right.
將相應的值帶入就好。

2. 參數方程化爲隱式方程

假設橢圓5參數(xc,yc,a,b,θ)(x_c, y_c, a,b,\theta), 那麼它對應的標準方程爲
x2a2+y2b2=1.\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1. 通過座標變換(旋轉+平移)把標準座標變到一般座標:
[xy]=[cosθsinθsinθcosθ][xy]+[xcyc]. \left[ \begin{matrix} x^{'}\\ y^{'}\\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} \cos\theta & \sin\theta\\ -\sin\theta &\cos\theta\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x\\ y\\ \end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix} x_c\\ y_c\\ \end{matrix} \right]. 反解出(x,y)(x, y) 帶入標準方程,通過簡單的化簡可得:
{A=b2cos2θ+a2sin2θB=b2sin2θ+a2cos2θC=b2cosθsinθ+a2sinθcosθD=(b2a2)sinθcosθyc(a2sin2+b2cos2)xcE=(b2a2)sinθcosθxc(a2sin2+b2cos2)ycF=b2(cos2θxc2+sin2θyc22cosθsinθxcyc)+a2(sin2θxc2+cos2θyc22cosθsinθxcyc)a2b2. \left\{ \begin{aligned} &A=b^2\cos^2\theta+a^2\sin^2\theta \\ &B=b^2\sin^2\theta+a^2\cos^2\theta \\ &C=-b^2\cos\theta\sin\theta+a^2\sin\theta\cos\theta& \\ &D=(b^2-a^2)\sin\theta \cos\theta y_c-(a^2\sin^2+b^2\cos^2) x_c\\ &E=(b^2-a^2)\sin\theta \cos\theta x_c-(a^2\sin^2+b^2\cos^2) y_c \\ &F=b^2(\cos^2\theta x_c^2+\sin^2\theta y_c^2-2\cos\theta\sin\theta x_cy_c)+a^2(\sin^2\theta x_c^2+\cos^2\theta y_c^2-2\cos\theta\sin\theta x_cy_c)-a^2b^2&\\ \end{aligned}. \right.

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