1. 隱式方程轉參數方程
二次曲線的一般方程爲:
Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx2+2Ey2+F=0.
若B2−AC<0, 爲橢圓;B2−AC=0, 爲拋物線;B2−AC>0,爲雙曲線。
二次曲線可通過旋轉和平移來變成標準方程,從而得到其幾何參數。旋轉的作用是消去交叉項,平移的作用是使中心爲原點,下面以橢圓爲例。
方程的二次項爲:
[x,y][ABBC][x,y],(1)
一次項爲
2[x,y][DE].我們對二次項進行旋轉,消去交叉項,旋轉角θ就是橢圓的偏角。假設新的座標爲(x′,y′), 那麼
[x′y′]=[cosθ−sinθsinθcosθ][xy].
將
[xy]=[cosθsinθ−sinθcosθ][x′y′]
帶入式(1),然後令矩陣(1,2) 位置的元素爲0,可得,
(C−A)sin2θ+2Bcos2θ=0,
那麼,tan2θ=A−C2B. 那麼原來的二次項矩陣變爲:
[cosθ−sinθsinθcosθ][ABBC][cosθsinθ−sinθcosθ]=[A′00C′].兩邊同時乘以旋轉矩陣的逆,並比較兩邊矩陣的(1,1)和(2,2)位置元素可得:
A′=A+Btanθ,C′=C−Btanθ.對於一次項,做同樣的旋轉操作可得,
[D′E′]=[cosθ−sinθsinθcosθ][DE]=[Dcosθ+Esinθ−Dsinθ+Ecosθ].那麼化簡後的橢圓方程爲
A′x′2+C′y′2+2D′x′+2E′y′+F=0.
我們對它進一步配方化爲標準橢圓方程:
A′2D′2+C′A′E′2−A′F(x′+D′/A′)2+A′C′D′2+C′2E′2−C′F(y′+E′/C′)2=1,從而我們得到橢圓5個參數(xc,yc,a,b,θ)爲
⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧xc=−A′D′yc=−C′E′a=A′2D′2+C′A′E′2−A′Fb=A′C′D′2+C′2E′2−C′Ftanθ=A−C2B.
將相應的值帶入就好。
2. 參數方程化爲隱式方程
假設橢圓5參數(xc,yc,a,b,θ), 那麼它對應的標準方程爲
a2x2+b2y2=1. 通過座標變換(旋轉+平移)把標準座標變到一般座標:
[x′y′]=[cosθ−sinθsinθcosθ][xy]+[xcyc].反解出(x,y) 帶入標準方程,通過簡單的化簡可得:
⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧A=b2cos2θ+a2sin2θB=b2sin2θ+a2cos2θC=−b2cosθsinθ+a2sinθcosθD=(b2−a2)sinθcosθyc−(a2sin2+b2cos2)xcE=(b2−a2)sinθcosθxc−(a2sin2+b2cos2)ycF=b2(cos2θxc2+sin2θyc2−2cosθsinθxcyc)+a2(sin2θxc2+cos2θyc2−2cosθsinθxcyc)−a2b2.